文章目录
1 概述2 模型介绍2.1 排队服务过程2.2 排队系统的要素2.3 顾客输入过程2.4 排队结构与排队规则2.5 服务机构与服务规则3 代码实现1 概述
生活中需要排队的地方很多，本模型用于分析和仿真现实生活中的排队现象。
排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。
1909年，丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理 论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库 存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。
2 模型介绍
（1）由于顾客到达和服务时间的随机性，
现实中的排队现象几乎不可避免；
（2）排队过程，通常是一个随机过程，
排队论又称“随机服务系统理论”；
2.1 排队服务过程
2.2 排队系统的要素
（1）顾客输入过程；
（2）排队结构与排队规则；
（3）服务机构与服务规则；
2.3 顾客输入过程
顾客源(总体)：有限/无限;
顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形)
顾客到达间隔：随机型/确定型;
顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；
输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
2.4 排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制);
排队系统容量：有限制/无限制;
排队队列数目: 单列/多列;
是否中途退出: 允许/禁止;
是否列间转移: 允许/禁止;
(仅研究禁止退出和转移的情形)
2.5 服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个;
服务台(员)排列形式;并列/串列/混合;
服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形)
服务时间分布;随机型/确定型;
服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)
3 代码实现
设顾客到达速率服从参数为lambda的负指数分布，服务速率为mu的负指数分布，服务强度rho = lambda / mu
则当lambda <= mu时，则rho <= 1，队伍的长度L会逐渐增长并收敛至L = lambda/(mu - lambda)，平均等待时间会收敛至W = 1 / (mu - lambda)
反之若lambda > mu，rho > 1，L和W会随着到达的顾客数的增加而增加，不会收敛。
采用MATLAB生成服从负指数分布的随机数，并对队长以及等待时间进行统计，最后画图展示出排队的过程
eg:
lambda = 0.1493
mu = 0.1587
模拟结果如下
PCU也称当量交通量。
ave_t = zeros(10,100);p = zeros(10,100);nn = 10:10:5000; %到达路口的车数count = zeros(size(nn,2),100); %队列长度for d = 1:length(nn)for s = 1:100 n = nn(d); %模拟车辆数目dt = exprnd(6.7,1,n); %模拟到达时间间隔st = exprnd(6.3,1,n); %每辆车经过路口所用的时间a = zeros(1,n); %每辆车到达时刻b = zeros(1,n); %每辆车到达路口的时刻c = zeros(1,n); %每辆车离开时刻a(1) = 0;for i = 2:na(i) = a(i-1) + dt(i-1);endb(1) = 0;c(1) = b(1) + st(1);for i = 2:n%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间早，则其到达路口停车线的时间为前一辆车离开时间if(a(i) <= c(i-1))b(i) = c(i-1);%如果第i辆车到达路口比前一辆离开的时间晚，则其到达路口停车线的时间为其到达时间elseb(i) = a(i);end%第i辆车离开时间为其到达路口停车线的时刻+通过路口需要的时间c(i) = b(i) + st(i);endfor i = 2:nif(a(i) <= c(i-1))count(d,s) = count(d,s) + 1;elsebreak;endendcost = zeros(1,n);for i = 1:ncost(i)=c(i)-a(i); %第i辆车在队列中等待的时间endT = c(n); %总时间p(d,s) = sum(st)/T;ave_t(d,s) = sum(cost)/n;endendpc = sum(p,2)/100; %服务强度aver_tc = sum(ave_t,2) / 100; %在队列中耗费的平均时间count = sum(count,2) / 100;%画图部分figure;subplot(2,1,1)plot(nn,aver_tc);grid on;title('平均等待时间随到达路口车辆总数变化曲线 单位：秒')xlabel('到达路口车辆总数')ylabel('平均等待时间') subplot(2,1,2)plot(nn,count);grid on;%ylim([0,2])title('队列中的交通量数随到达路口车辆总数变化曲线 单位：pcu')xlabel('到达路口车辆总数')ylabel('队列中的车辆数') set(gcf,'color','w');%p = fig2plotly(gcf,'offline',true);
