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一、通解定义

递推方程解的形式 :满足 H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0H(n)−a1​H(n−1)−a2​H(n−2)−⋯−ak​H(n−k)=0 公式的所有递推方程 , 都具有 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 形式的解 ;

下面开始讨论之前得到的 解的形式 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 是否概括了所有解的共同模式 ; 数列中所有的项是否都遵从该模式 ;

如果有些不同的初值 , 不遵循上述模式 , 那该解就 不能作为 所有的 该族 递推方程 的解的通用格式 ;

递推方程通解定义 :

如果递推方程 , 每个解 h(n)h(n)h(n) 都存在一组常数 c1′,c2′,⋯,ck′c_1' , c_2' , \cdots , c_k'c1′​,c2′​,⋯,ck′​ ,

使得 h(n)=c1′q1n+c2′q2n+⋯+ck′qknh(n) = c_1'q_1^n + c_2'q_2^n + \cdots + c_k'q_k^nh(n)=c1′​q1n​+c2′​q2n​+⋯+ck′​qkn​ 成立 ,

则称 c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknc_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nc1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 是递推方程的 通解;

分析 :

递推方程解个数 :递推方程有多少解呢 , 将特征方程解出特征根 , 特征根个数 , 就是递推方程解的个数 ;

常数确定 :h(n)h(n)h(n) 是数列的第 nnn 项 , h(n)h(n)h(n) 是否能表达成 c1′q1n+c2′q2n+⋯+ck′qknc_1'q_1^n + c_2'q_2^n + \cdots + c_k'q_k^nc1′​q1n​+c2′​q2n​+⋯+ck′​qkn​ 格式 , 找到一组常数 c1′,c2′,⋯,ck′c_1' , c_2' , \cdots , c_k'c1′​,c2′​,⋯,ck′​ , 使得上述解的格式确定下来即可 , 这些常数是由初值确认的 ;

二、无重根下递推方程通解结构定理

无重根下递推方程通解结构定理 :

如果 q1,q2,⋯,qkq_1, q_2, \cdots , q_kq1​,q2​,⋯,qk​ 是 递推方程 不相等 的 特征根 ,

则 H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 为通解 ;

随便在递推方程中 , 拿出一个方程出来 , 其解一定是 H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 格式 , 只不过是不同的初值 , 对应不同的 c1,c2,⋯,ckc_1, c_2, \cdots , c_kc1​,c2​,⋯,ck​ 常数 ;

证明上述定理 :

H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 是递推方程的解 , 由之前已经证明过的定理得出 :

qqq 是特征方程的特征根 ⇔\Leftrightarrow⇔ qnq^nqn 是递推方程的解h1(n)h_1(n)h1​(n) 和 h2(n)h_2(n)h2​(n) 都是同一个递推方程的解 , c1,c2c_1 , c_2c1​,c2​ 是任意常数 , 两个解的线性组合 c1h1(n)+c2h2(n)c_1h_1(n) + c_2h_2(n)c1​h1​(n)+c2​h2​(n) , 这个线性组合也是递推方程的解 ;

下面证明任意一个解都可以表达成通解的格式 ;

假定 h(n)h(n)h(n) 是任意一个解 ,

该递推方程有 kkk 个初值如下 :

h(0)=b0h(0) = b_0h(0)=b0​h(1)=b1h(1) = b_1h(1)=b1​h(2)=b2h(2) = b_2h(2)=b2​

⋮\ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots⋮

h(k−1)=bk−1h(k-1) = b_{k-1}h(k−1)=bk−1​

将 kkk 个初值 , 代入上述通解格式 H(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqknH(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^nH(n)=c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 中 , 得到如下方程组 :

{c1′+c2′+⋯+ck′=b0c1′q1+c2′q2+⋯+ck′qk=b1⋮c1′q1k−1+c2′q2k−1+⋯+ck′qkk−1=bk−1\begin{cases} c_1' + c_2' + \cdots + c_k' = b_0 \\\\ c_1'q_1 + c_2'q_2 + \cdots + c_k'q_k = b_1 \\\\ \ \ \ \ \ \vdots \\\\ c_1' q_1^{k-1}+ c_2' q_2^{k-1}+ \cdots + c_k' q_k^{k-1}= b^{k-1} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​c1′​+c2′​+⋯+ck′​=b0​c1′​q1​+c2′​q2​+⋯+ck′​qk​=b1​⋮c1′​q1k−1​+c2′​q2k−1​+⋯+ck′​qkk−1​=bk−1​

上述的方程组是否能唯一地确定一组 c1,c2,⋯,ckc_1, c_2, \cdots , c_kc1​,c2​,⋯,ck​ 常数, 如果可以说明该解是递推方程的通解 , 如果不能 , 则该解不是递推方程的通解 ;

将上述 c1,c2,⋯,ckc_1, c_2, \cdots , c_kc1​,c2​,⋯,ck​ 看做 kkk 个未知数 , 并且 该方程组中有 kkk 个方程 , 该方程组存在唯一解的条件是 :

系数行列式 不等于 000 ,

符号表示为 :∏1≤i<j≤k(qi−qk)≠0\prod\limits_{1 \leq i < j \leq k} ( q_i - q_k ) \not= 01≤i<j≤k∏​(qi​−qk​)​=0

文字描述 :系数行列式是所有 系数 q1,q2,⋯,qk−1q_1, q_2, \cdots , q_{k-1}q1​,q2​,⋯,qk−1​ 的 两两相减乘积不为 000 , 即 q1,q2,⋯,qk−1q_1, q_2, \cdots , q_{k-1}q1​,q2​,⋯,qk−1​ 中 不存在两两相等的情况 ;