特征值、特征向量、左特征向量

左特征向量、右特征向量

右特征向量 xix_ixi​ 如下，也是默认常用向量形式：

Axi=λixiAx_i = \lambda_i x_iAxi​=λi​xi​

左特征向量 yiTy_i^TyiT​ 如下：

ATyi=λiyi,i=1,2,⋯,n(3.5.13)A^Ty_i = \lambda_i y_i, \quad i = 1,2,\cdots, n \tag{3.5.13}ATyi​=λi​yi​,i=1,2,⋯,n(3.5.13)

上式两端取转置得

yiTA=λiyiT,i=1,2,⋯,n(3.5.14)y_i^TA = \lambda_i y_i^T, \quad i = 1,2,\cdots, n \tag{3.5.14}yiT​A=λi​yiT​,i=1,2,⋯,n(3.5.14)

From: 【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第3章-矩阵的分解

百度百科定义

Ap=λpAp=λpAp=λp

在方矩阵 AAA ，其系数属于一个环的情况，

λλλ 称为一个右特征值如果存在一个列向量 ppp 使得 Awr=λwrAw_r=λw_rAwr​=λwr​，或者

λλλ 称为一个左特征值如果存在非零行向量 ppp 使得 wlTA=λwlTw_l^T A= λ w_l^TwlT​A=λwlT​。

若环是可交换的，左特征值和右特征值相等，并简称为特征值。否则，例如当环是四元数集合的时候，它们可能是不同的。

若向量空间是无穷维的，特征值的概念可以推广到谱的概念。谱是标量λ的集合，对于这些标量，没有定义，也就是说它们使得没有有界逆。

From: 特征向量-百度百科

左特征向量

左特征向量，即是乘在矩阵的左边的向量（横向量）。求法先求转置矩阵的特征值和对应的特征向量（列向量）。将求的向量写成横向量即为左特征向量，转置矩阵的特征值为矩阵的做特征值。具体解法见插图。

From: 什么叫矩阵的左特征向量？如何求？