灰度图像--图像增强 平滑之均值滤波、高斯滤波

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开篇废话均值滤波 数学效果代码 高斯滤波 数学效果代码 总结

学习DIP第30天

转载请标明本文出处：/tonyshengtan，欢迎大家转载，发现博客被某些论坛转载后，图像无法正常显示，无法正常表达本人观点，对此表示很不满意。有些网站转载了我的博文，很开心的是自己写的东西被更多人看到了，但不开心的是这段话被去掉了，也没标明转载来源，虽然这并没有版权保护，但感觉还是不太好，出于尊重文章作者的劳动，转载请标明出处！！！！

文章代码已托管，欢迎共同开发：/Tony-Tan/DIPpro

开篇废话

今天的废话是，我早上来了开始写博客，写了大概和下文差不多的内容，写了很多，就在发表以后，我震惊了，博客是空的，没有内容，我就表示呵呵了，不知道是网速的问题还是CSDN的问题，总之，我就不说啥了。

今天的内容是是平滑，先介绍均值和高斯平滑，高斯平滑是均值平滑的一个扩展，或者是一个进化版本。均值的原理是，一个规定的邻域内，所有像素的平局值作为最终计算的结果，每个像素的权值相同，为总像素的倒数，而高斯平滑是上述的升级版本，邻域内每个像素的权值不同，而权值是由高斯函数确定的。

均值平滑和高斯平滑都是线性的，也就是，一旦参数给定，模板就确定下来，不会因为位置和像素分布不同而改变，而线性模板的基本运算是卷积。

线性模板的另一个性质就是可以进行频域分析，比如高斯平滑的频域仍然是高斯的，而且是低通的，这与前面讲到的平滑是消除尖锐的噪声（高频）的操作相互证明了其正确性，均值平滑是一个盒状滤波器，其频域为sinc函数，也是一个近似的低通，但sinc函数有旁瓣，所以，模板宽度选择不好可能会有一些不好的效果，比如有些高频会被保留，这一点也比较好理解。

比较下两种均值（加权和不加权）。比如一维的一个序列{0，0，0，0，0，1000，0，0，0，0}，明显1000是个边缘，如果使用3个宽度的均值平滑，结果是{0，0，0，0，333，333，333，0，0，0}，边缘被完全模糊掉了。但如果使用{1，2，1}的近似高斯平滑模板，结果是{0，0，0，0，250，500，250，0，0，0}，边缘被保留。所以，加权平均（高斯）可以保留一定的细节。

对于设计的线型滤波器，其效果可以先是由傅里叶变换，到频域进行观察，便可大致推测出其效果，测试图片（灰度输入）：

均值滤波

数学

基本数学原理公式，以3x3为例： 得到滤波模板： 应用于图像的计算公式：

上式中的w(s,t)恒等于1。

效果

观察下用3x3，5x5和7x7的均值模板与图像卷积的结果： 3x3模板：

5x5模板：

7x7模板：

可以得出结论，均值滤波的模板越大，图像越模糊。

代码

[cpp]view plaincopyprint? voidMeanMask(double*mask,intwidth,intheight){doublew=width;doubleh=height;doublemeanvalue=1.0/(w*h);for(inti=0;i<width*height;i++)mask[i]=meanvalue;}voidMeanFilter(IplImage*src,IplImage*dst,intwidth,intheight){double*pixarry=(double*)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double*dstarry=(double*)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double*mask=(double*)malloc(sizeof(double)*width*height);for(intj=0;j<src->height;j++){for(inti=0;i<src->width;i++){pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src,j,i);}}MeanMask(mask,width,height);RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);for(intj=0;j<src->height;j++){for(inti=0;i<src->width;i++){cvSetReal2D(dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);}}free(pixarry);free(dstarry);free(mask);}

void MeanMask(double *mask,int width,int height){double w=width;double h=height;double meanvalue=1.0/(w*h);for(int i=0;i<width*height;i++)mask[i]=meanvalue;}void MeanFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height){double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);for(int j=0;j<src->height;j++){for(int i=0;i<src->width;i++){pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);}}MeanMask(mask, width, height);RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);for(int j=0;j<src->height;j++){for(int i=0;i<src->width;i++){cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);}}free(pixarry);free(dstarry);free(mask);}

这个代码并不是最快速的，只是为了和高斯平滑相互保持一致。所以，如果要使用，需要先优化。

高斯滤波

高斯平滑，就是一种加权的均值，权值由高斯函数确定。

数学

高斯函数： 在三维中的形状如下：

生成上图的matlab代码：[python]view plaincopyprint? %公式：p(z)=exp(-(z-u)^2/(2*d^2)/(sqrt(2*pi)*d)X=0:1:100;Y=0:1:100;%方差d=49;Z=zeros(101,101);forrow=1:1:101forcol=1:1:101Z(row,col)=(X(row)-50).*(X(row)-50)+(Y(col)-50).*(Y(col)-50);endendZ=-Z/(2*d);Z=exp(Z)/(sqrt(2*pi)*sqrt(d));surf(X,Y,Z);

% 公式： p(z) = exp(-(z-u)^2/(2*d^2)/(sqrt(2*pi)*d)X = 0 : 1 : 100;Y = 0 : 1: 100;% 方差d= 49;Z = zeros(101, 101);for row = 1 : 1 : 101for col = 1 : 1 : 101Z(row, col) = (X(row) - 50) .* (X(row)-50) + (Y(col) - 50) .* (Y(col) - 50);endendZ = -Z/(2*d);Z = exp(Z) / (sqrt(2*pi) * sqrt(d));surf(X, Y, Z);

当坐标（u，v）远离原点时，函数值越小。这与概率的知识相符，越远离中心（原点）的像素灰度值，对中心像素灰度值的相关性越小，所以被赋予的权值越小。

效果

观察效果，使用不同标准差，和模板大小的结果：

结论： 同等模板大小，标准差越大越模糊标准差相同，模板越大图像越模糊。

代码

[cpp]view plaincopyprint? voidGaussianMask(double*mask,intwidth,intheight,doubledeta){doubledeta_2=deta*deta;intcenter_x=width/2;intcenter_y=height/2;doubleparam=1.0/(2*M_PI*deta_2);for(inti=0;i<height;i++)for(intj=0;j<width;j++){doubledistance=Distance(j,i,center_x,center_y);mask[i*width+j]=param*exp(-(distance*distance)/(2*deta_2));}doublesum=0.0;for(inti=0;i<width*height;i++)sum+=mask[i];for(inti=0;i<width*height;i++)mask[i]/=sum;}voidGaussianFilter(IplImage*src,IplImage*dst,intwidth,intheight,doubledeta){double*pixarry=(double*)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double*dstarry=(double*)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double*mask=(double*)malloc(sizeof(double)*width*height);for(intj=0;j<src->height;j++){for(inti=0;i<src->width;i++){pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src,j,i);}}GaussianMask(mask,width,height,deta);RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);for(intj=0;j<src->height;j++){for(inti=0;i<src->width;i++){cvSetReal2D(dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);}}free(pixarry);free(dstarry);free(mask);}

void GaussianMask(double *mask,int width,int height,double deta){double deta_2=deta*deta;int center_x=width/2;int center_y=height/2;double param=1.0/(2*M_PI*deta_2);for(int i=0;i<height;i++)for(int j=0;j<width;j++){double distance=Distance(j, i, center_x, center_y);mask[i*width+j]=param*exp(-(distance*distance)/(2*deta_2));}double sum=0.0;for(int i=0;i<width*height;i++)sum+=mask[i];for(int i=0;i<width*height;i++)mask[i]/=sum;}void GaussianFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height,double deta){double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);for(int j=0;j<src->height;j++){for(int i=0;i<src->width;i++){pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);}}GaussianMask(mask, width, height, deta);RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);for(int j=0;j<src->height;j++){for(int i=0;i<src->width;i++){cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);}}free(pixarry);free(dstarry);free(mask);}

总结

之前写了很多结论，现在都忘完了，因为理论很简单，主要是观察结果，线性平滑基本就介绍这些，下篇介绍非线性的。