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高斯判别分析（续）
将上面三个分布的概率密度函数代入第二节公式7，可求得argmaxyp(y|x)，然后进行最大似然估计，可得该GDA的最大似然估计参数为：（过程略）
ϕ=1m∑i=1m1{y(i)=1}μ0=∑mi=11{y(i)=0}x(i)∑mi=11{y(i)=0}μ1=∑mi=11{y(i)=1}x(i)∑mi=11{y(i)=1}Σ=1m∑i=1m(x(i)−μy(i))(x(i)−μy(i))T
上图中的直线就是分界线
p(y=1|x)=0.5。
GDA vs 逻辑回归
p(y=1|x)=p(x|y=1)p(y=1)p(x|y=1)p(y=1)+p(x|y=0)p(y=0)=1Aexp(f(μ0,Σ,x))ϕ1Aexp(f(μ0,Σ,x))ϕ+1Aexp(f(μ1,Σ,x))(1−ϕ)=11+exp(f(μ1,Σ,x))(1−ϕ)exp(f(μ0,Σ,x))ϕ=11+exp(f(μ1,Σ,x)+log(1−ϕ)−f(μ0,Σ,x)−log(ϕ))=11+exp(−θTx)从上面的变换可以看出，GDA是逻辑回归的特例。
一般来说，GDA的条件比逻辑回归严格。因此，如果模型符合GDA的话，采用GDA方法，收敛速度（指所需训练集的数量）比较快。
而逻辑回归的鲁棒性较好，对于非GDA模型或者模型不够准确的情况，仍能收敛。
互不相容事件、独立事件与条件独立事件
如果P(AB)=0，则事件A、B为互不相容事件。
如果P(AB)=P(A)P(B)或P(A)=P(A|B)，则事件A、B为独立事件。
如果P(AB|R)=P(A|R)P(B|R)，则事件A、B为条件R下的独立事件。
可见，这三者是完全不同的数学概念，不要搞混了。
朴素贝叶斯方法
这里以文本分析（Text Classification）为例，讲解一下朴素贝叶斯（Naive Bayes）方法。
文本分析的一个常用方法是根据词典建立特征向量x。x中的每个元素代表词典里的一个单词，如果该单词在文本中出现，则对应的元素值为1,否则为0。
这里假设我们的目标是通过文本分析，判别一个email是否是垃圾邮件。y=1表示是垃圾邮件，y=0表示不是垃圾邮件。显然，在这里一封邮件就是一个样本集。
相比之前的应用领域，文本分析的特殊之处在于词典中的单词数量十分庞大，从而导致x的维数巨大（比如50000个单词，就是50000维），以至于之前的方法，根本无法计算。
为了简化问题，我们假设p(xi|y)是条件独立的。这个假设被称为朴素贝叶斯假设（Naive Bayes (NB) assumption）。使用这个假设的算法被称为朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes classifier）。
从数学角度，NB假设是个很严格的条件，但是实际使用中，即使样本集不满足NB假设，使用NB方法的效果一般还是不错的。
p(x1,…,x50000|y)=p(x1|y)p(x2|y,x1)p(x3|y,x1,x2)⋯p(x50000|y,x1,…,x49999)(条件概率的乘法公式)=p(x1|y)p(x2|y)p(x3|y)⋯p(x50000|y)(NB假设)=∏i=1np(xi|y)
因此：
p(y=1|x)=p(x|y=1)p(y=1)p(x)=(∏ni=1p(xi|y=1))p(y=1)(∏ni=1p(xi|y=1))p(y=1)+(∏ni=1p(xi|y=0))p(y=0)(1)
最大似然估计值为：
ϕj|y=1=p(xj=1|y=1)=∑mi=11{x(i)j=1∧y(i)=1}∑mi=11{y(i)=1}ϕj|y=0=p(xj=1|y=0)=∑mi=11{x(i)j=1∧y(i)=0}∑mi=11{y(i)=0}ϕy=p(y=1)=∑mi=11{y(i)=1}m
NB算法还可以扩展到y有多个取值的情况。对于y为连续函数的情况，可以采用区间离散化操作，将之离散化为多个离散值。
拉普拉斯平滑
对于样本集中未出现的单词，在其首次出现时，由于先验概率p(xi|y=1)=0,p(xi|y=0)=0，这时公式1会出现00的情况。
为了避免这种情况，我们假定先验概率至少为1次，也就是
ϕj=p(y=j)=∑mi=11{y(i)=j}+1m+k
这种方法叫做拉普拉斯平滑（Laplace Smoothing）。注意这里ϕ的定义和上面略有不同，上面的公式中，y是二值分布，而这里是多值分布（值为k）。为了满足概率和为1的条件，分母上需要加k。
文本分类的事件模型
文本分类的事件模型有两类：
1.多值伯努利事件模型（multi-variate Bernoulli event model）。
在这个模型中，我们首先随机选定了邮件的类型（垃圾或者普通邮件，也就是p(y)），然后翻阅词典，随机决定一个词是否要在邮件中出现，出现则xi标示为1，否则标示为0。然后将出现的词，组成一封邮件。一个词是否出现的概率为p(xi|y)，整封邮件的概率为p(y)∏ni=1p(xi|y)。
2.多项事件模型（multinomial event model）。
令xi表示邮件的第i个词在字典中的位置，那么xi的取值范围为1,2,...∣V∣，∣V∣表示字典中单词的数目。这样一封邮件可以表示成(x1,x2,…,xn)，这里n为邮件包含的单词个数，显然每个邮件的n值一般是不同的。
这相当于重复投掷∣V∣面的骰子，将观察值记录下来就形成了一封邮件。每个面的概率服从p(xi|y)，而且每次试验条件独立。这样我们得到的邮件概率是p(y)∏ni=1p(xi|y)。
需要注意的是，上面两个事件模型的概率公式虽然一致，但含义却有很大差异，不要弄混了。
支持向量机
支持向量机（SVM，Support Vector Machines）是目前最好的监督学习算法。它由Vladimir Naumovich Vapnik与Alexey Ya. Chervonenkis于1963年提出。
注：Vladimir Naumovich Vapnik，1936年生，乌兹别克国立大学学士，莫斯科控制科学学院博士，后成为该学院计算机科学研究部门负责人。1990年代末移民美国，先后供职于AT&T Bell、NEC、Facebook，伦敦大学和哥伦比亚大学教授。
Alexey Yakovlevich Chervonenkis，1938～，俄罗斯数学家。俄罗斯科学院院士，伦敦大学教授。
我们首先来看一幅图：
上图中的x和o分别代表y的两种不同取值（1和0）。前面提到逻辑回归的预测函数为hθ(x)=g(θTx)，那么图中直线的解析方程就是θTx=0。这条直线被称作分割超平面（Separating Hyperplane），也就是预测值的分界线。
图中的三个点A、B、C，虽然都在线的上方，然而从直觉来说，A离分界线最远，我们对它的值为1的信心也最足。反观C点，由于离分界线比较近，我们对其值的预测，实际上并没有多大把握。因为这种情况下，样本集的少许调整，就会导致分界线的移动，从而导致预测值的改变。B点的情况介于A和C之间。
和逻辑回归不同，SVM更关心靠近分界线的点，让他们尽可能地远离分界线，而不是在所有点上都达到最优。
为了便于后续讨论，我们对hθ(x)进行改写：hw,b(x)=g(wTx+b)。其中b为常数项，即x0的系数项，w为其余的xi的系数项。
同时对g(z)的定义也调整为：
g(z)={1,−1,z≥0z<0
这个定义的好处在于g(z)的取值，只和z的符号相关，而和其绝对值的大小无关。
函数边距和几何边距
为了定义样本点和边界线的距离，我们引入函数边距（functional margin）和几何边距（geometric margins）的定义。
函数边距的定义如下：
γ^=mini=1,…,mγ^(i),γ^(i)=y(i)(wTx(i)+b)
几何边距的几何意义如上图所示。w是分界线的法向量，A的坐标是x(i)，它到分界线的距离是γ(i)，根据解析几何知识可知，A到分界线的垂足B的坐标为x(i)−γ(i)w∥w∥。将其代入分界线方程wTx+b=0，可得：
wT(x(i)−γ(i)w∥w∥)+b=0⇒wTx(i)−γ(i)wTw∥w∥+b=0⇒wTx(i)+b=γ(i)∥w∥2∥w∥⇒γ(i)=wTx(i)+b∥w∥=(w∥w∥)Tx(i)+b∥w∥
正是A在边界线上方时的情况，扩展到整个坐标系的话，上式可改为：
γ(i)=y(i)⎛⎝(w∥w∥)Tx(i)+b∥w∥⎞⎠
同理，可得几何边距的定义为：
γ=mini=1,…,mγ(i)
从函数边距和几何边距的定义可以看出，如果等比例缩放w和b的话，其几何边距不变，且当∥w∥=1时，函数边距和几何边距相等。
最优边距分类
SVM算法的本质，就是求能使几何边距最大的w和b的取值，用数学语言描述就是求解问题：
maxγ,w,bs.t.γy(i)(wTx(i)+b)≥γ,i=1,…,m∥w∥=1
注：上式中的s.t.是subject to的缩写，表示极值问题的约束条件。
这个问题等价于:
maxγ,w,bs.t.γ^∥w∥y(i)(wTx(i)+b)≥γ^,i=1,…,m
如果能通过比例变换使γ^=1，则问题化解为：
minγ,w,bs.t.12∥w∥2y(i)(wTx(i)+b)≥1,i=1,…,m
这个问题实际上就是数学上的QP（Quadratic Programming）问题，采用这种方案的分类被称为最优边距分类（optimal margin classifier）。
拉格朗日对偶
QP问题是有约束条件的优化问题（constrained optimization problem）的一种，下面让我们讨论一下解决这类问题的通用方法。
假设我们求解如下问题：
minws.t.f(w)gi(w)≤0,i=1,…,khi(w)=0,i=1,…,l
这里将约束条件分为两类：
1.hi(w)=0代表的是约束条件为等式的情况。
2.gi(w)≤0代表的是约束条件为不等式的情况。
上述约束优化问题也被称为原始优化问题（primal optimization problem）。为了求解这个问题，我们定义广义拉格朗日（generalized Lagrangian）函数：
L(w,α,β)=f(w)+∑i=1kαigi(w)+∑i=1lβihi(w)
利用这个函数可以将约束优化问题转化为无约束优化问题。其中的αi、βi也被称作拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）。
θP(w)=maxα,β:αi≥0L(w,α,β)=maxα,β:αi≥0f(w)+∑i=1kαigi(w)+∑i=1lβihi(w)
其中，P代表原始优化问题，maxα,β:αi≥0表示在α,β变化，而其他变量不变的情况下，求最大值。
