多元函数第一：实数系统（1） 实数域的三大公理

数学的各个学科，要保证其理论的完备性，需要建立在基本公理的基础之上。一个理论，如果不进行公理化，很容易出问题。典型的问题，有集合论中的理发师悖论；以及古典概率论中，针对无限样本集表现出的悖论。

分析学，作为一个完备的学科，其公理化的过程必不可少。而其中，最基本的步骤，就是对实数集以及实数的运算，给予确切的公理化定义。这里的定义，包括代数和顺序定义。

公理1.实数的代数定义.

（a）在实数集上定义两种运算：加法（+）和乘法。它满足

对任意的实数x和y都满足，和是实数，也即实数集对加法和乘法运算封闭；交换律，也即并且