RANSAC原理
RANSAC（RANdom SAmple Consensus）是一种经典的模型拟合算法，用于从一组杂乱的数据中找出最佳的模型。它的基本思想是随机选取一定数量的数据点，使用这些数据点来拟合模型，然后将所有数据点带入模型中，统计符合模型的数据点数量，如果符合数量超过阈值，则认为这些数据点符合这个模型，即它们是局内点（inlier）。重复以上过程，多次迭代之后，找到的最佳模型是拟合最优的模型，符合该模型的数据点就是局内点。
RANSAC的算法流程如下：
随机选取一定数量（例如 n 个）的样本点作为内点，计算模型参数；遍历所有数据点，并计算它们到模型的距离；将距离小于阈值的数据点划分为内点，其余点划分为外点；如果内点数量大于一定比例（例如一半）且比当前记录中的内点数量大，则重新计算模型参数并记录内点数量；重复迭代上述步骤，直到达到指定的迭代次数或者内点数量超过一定比例。
RANSAC算法通常用于处理含有噪声或者异常数据的拟合问题，例如点云配准、图像匹配等问题。它的优点是可以对噪声数据进行过滤，提高拟合准确性，缺点是需要设置阈值和迭代次数等参数，调节过程相对比较复杂。
拟合二次多项式曲线
以下是一个简单的RANSAC拟合二次多项式的代码示例，供参考：
import numpy as npimport randomdef ransac2d(x, y, n, k, t, d):"""RANSAC算法拟合二次多项式:param x: x坐标值:param y: y坐标值:param n: 最小拟合数据量:param k: 迭代次数:param t: 阈值:param d: 拟合数据量偏差:return: 拟合出的二次多项式系数"""bestfit = Nonebesterr = np.inffor i in range(k):# 随机选择n个点indices = random.sample(range(len(x)), n)# 使用这n个点进行拟合p = np.polyfit(x[indices], y[indices], 2)# 计算距离小于阈值t的点的数量err = np.sum(np.abs(np.polyval(p, x) - y) < t)# 如果符合条件的点数超过了d个，认为该次拟合比之前的更好if err > d and err < besterr:bestfit = pbesterr = errreturn bestfit# 生成测试数据x = np.linspace(-10, 10, 100)y = 2 * x ** 2 - 3 * x + 1 + np.random.randn(x.shape[0]) * 10# 使用RANSAC算法拟合二次多项式p = ransac2d(x, y, 10, 100, 3, 20)# 绘制拟合曲线import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y, 'b.')xp = np.linspace(-10, 10, 100)plt.plot(xp, np.polyval(p, xp), 'r-')plt.show()
在此代码中，我们先定义了一个ransac2d函数来实现RANSAC算法拟合二次多项式的功能。该函数接受x和y坐标值，最小拟合数据量n，迭代次数k，阈值t和拟合数据量偏差d作为参数，并返回拟合的二次多项式系数。
在函数内部，我们循环k次来执行RANSAC算法。在每次循环中，我们随机选择n个点，并使用这些点进行二次多项式拟合。然后，我们计算距离小于阈值t的点的数量，并将其与拟合数据量偏差d进行比较。如果符合条件的点数超过了d个，我们认为这是一个比之前更好的拟合，并将其保存下来。
最后，我们绘制原始数据点和拟合曲线以进行可视化。
拟合三次多项式曲线
以下是用Python实现RANSAC拟合三次多项式的代码示例：
import randomimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成随机样本数据x = np.arange(-5, 5, 0.1)y = 5 * x ** 3 - 2 * x ** 2 + 3 * x + np.random.randn(len(x))def fit_polynomial(x, y, degree):# 返回拟合多项式的系数return np.polyfit(x, y, degree)def evaluate_polynomial(coef, x):# 计算多项式函数值return np.polyval(coef, x)def ransac_polynomial(x, y, degree, n_iter, threshold):best_inliers = Nonebest_coef = Nonebest_err = np.inffor i in range(n_iter):# 随机选择若干个样本点sample_indices = random.sample(range(len(x)), degree + 1)sample_x = x[sample_indices]sample_y = y[sample_indices]# 拟合多项式coef = fit_polynomial(sample_x, sample_y, degree)# 计算所有样本点到多项式的距离all_errors = np.abs(evaluate_polynomial(coef, x) - y)# 选择符合阈值内的样本点inliers = all_errors < thresholdnum_inliers = np.sum(inliers)# 如果当前符合阈值的样本点数量比之前的多，则更新最佳参数if num_inliers > degree and num_inliers > np.sum(best_inliers):best_inliers = inliersbest_coef = fit_polynomial(x[inliers], y[inliers], degree)best_err = np.sum(np.abs(evaluate_polynomial(best_coef, x[inliers]) - y[inliers]))return best_coef, best_err, best_inliers# 进行RANSAC拟合degree = 3n_iter = 100threshold = 0.5best_coef, best_err, best_inliers = ransac_polynomial(x, y, degree, n_iter, threshold)# 画出拟合曲线和数据点plt.plot(x, y, 'o')plt.plot(x[best_inliers], y[best_inliers], 'ro', alpha=0.5)plt.plot(x, evaluate_polynomial(best_coef, x), '-r', label='RANSAC', alpha=0.5)plt.plot(x, evaluate_polynomial(fit_polynomial(x, y, degree), x), '-g', label='Ordinary Least Squares')plt.legend()plt.show()
在这个代码示例中，我们使用了numpy.polyfit和numpy.polyval函数分别进行多项式拟合和多项式函数值的计算，并定义了fit_polynomial和evaluate_polynomial两个函数。实现RANSAC拟合的ransac_polynomial函数则是在随机选择若干个样本点后计算其拟合多项式，然后计算所有样本点到多项式的距离，并选择符合阈值内的样本点进行拟合，最后返回符合阈值内的最佳参数和误差以及所有点的内外状态，也就是样本点是否符合阈值。
此外，在这个代码示例中我们还使用了matplotlib库画出了拟合曲线和数据点。
以下是C++代码实现RANSAC拟合三次多项式曲线：
#include <iostream>#include <cmath>#include <vector>#include <random>#include <algorithm>using namespace std;// 定义点结构体struct Point {double x;double y;};// 定义三次多项式函数double cubic_poly(double a, double b, double c, double d, double x) {return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;}// 定义误差计算函数double calc_error(double a, double b, double c, double d, Point& p) {double x = p.x;double y = p.y;double error = cubic_poly(a, b, c, d, x) - y;return error * error;}// 定义RANSAC函数void ransac(vector<Point>& points, double& a, double& b, double& c, double& d, int iterations, double threshold, int inlier_count) {int best_inliers = -1;int num_points = points.size();random_device rd;mt19937 gen(rd());uniform_int_distribution<> distrib(0, num_points - 1);uniform_real_distribution<> rand(-1., 1.);vector<int> inliers(num_points);for (int i = 0; i < iterations; ++i) {int idx1 = distrib(gen), idx2 = distrib(gen), idx3 = distrib(gen);while (idx1 == idx2 || idx1 == idx3 || idx2 == idx3) {idx1 = distrib(gen);idx2 = distrib(gen);idx3 = distrib(gen);}// 从三个点中获得三次多项式系数的初始估计double x1 = points[idx1].x, y1 = points[idx1].y;double x2 = points[idx2].x, y2 = points[idx2].y;double x3 = points[idx3].x, y3 = points[idx3].y;double aa = ((y2 - y3) * (x1 - x3) + (y3 - y1) * (x2 - x3)) / ((x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3));double bb = ((y2 - y3) - aa * (x2 * x2 - x3 * x3) - aa * (x2 - x3)) / (x2 - x3);double cc = y1 - aa * x1 * x1 - bb * x1;double dd = -bb / (3.0 * aa);int cur_inliers = 0;for (int k = 0; k < num_points; ++k) {double error = calc_error(aa, bb, cc, dd, points[k]);if (error < threshold) {inliers[cur_inliers] = k;++cur_inliers;}}if (cur_inliers > inlier_count) {// 使用inliers重新估计三次多项式系数double sum_x = 0.0, sum_x2 = 0.0, sum_x3 = 0.0, sum_x4 = 0.0, sum_y = 0.0, sum_xy = 0.0, sum_x2y = 0.0;for (int j = 0; j < cur_inliers; ++j) {Point& p = points[inliers[j]];double x = p.x;double y = p.y;sum_x += x;sum_x2 += x * x;sum_x3 += x * x * x;sum_x4 += x * x * x * x;sum_y += y;sum_xy += x * y;sum_x2y += x * x * y;}double det = (cur_inliers * sum_x2 * sum_x4 + 2 * sum_x * sum_x2 * sum_x3- sum_x2 * sum_x2 * sum_x2 - cur_inliers * sum_x3 * sum_x3 - sum_x * sum_x4);a = (cur_inliers * sum_xy * sum_x4 + sum_x2 * sum_x3 * sum_y + sum_x2y * sum_x3- sum_y * sum_x2 * sum_x4 - sum_xy * sum_x3 * sum_x - sum_x2y * sum_x2 * cur_inliers) / det;b = (sum_xy * sum_x2 * sum_x2 + cur_inliers * sum_x3 * sum_y * sum_x2 + sum_x2y * sum_x2 * sum_x2- sum_x2 * sum_xy * sum_x - sum_x2y * sum_x3 * cur_inliers - sum_y * sum_x2 * sum_x2) / det;c = (sum_x2 * sum_xy * sum_x3 + sum_x2 * sum_x2y * sum_x2 + sum_y * sum_x2 * sum_x4- sum_x4 * sum_xy * cur_inliers - sum_x2y * sum_x3 * sum_x2 - sum_x2 * sum_y * sum_x3) / det;d = (-sum_x2 * sum_x2 * sum_x2y - cur_inliers * sum_x2 * sum_x3 * sum_y - sum_xy * sum_x2 * sum_x4+ sum_x4 * sum_x2y * cur_inliers + sum_xy * sum_x3 * sum_x2 + sum_x2 * sum_y * sum_x2y) / det;best_inliers = cur_inliers;}}}int main() {vector<Point> points = {{0.0, 1.0}, {1.0, 4.0}, {2.0, 7.0}, {3.0, 16.0}, {4.0, 19.0},{5.0, 28.0}, {6.0, 37.0}, {7.0, 46.0}, {8.0, 55.0}, {9.0, 64.0}};double a, b, c, d;ransac(points, a, b, c, d, 1000, 1.0, 6);cout << "a = " << a << ", b = " << b << ", c = " << c << ", d = " << d << endl;return 0;}
这里我们定义了一个点结构体Point、一个三次多项式函数cubic_poly、一个误差计算函数calc_error和一个RANSAC函数ransac。在main函数中，我们定义了一个点集points，并调用ransac函数计算三次多项式系数a、b、c和d。
需要注意的是，我们在计算初始的三次多项式系数时，使用了随机三个点的方式。然后，我们计算每个点到当前估计的三次多项式曲线的误差，并根据阈值判断是否为内点。如果内点的个数大于指定的数量，我们就用这些内点重新估计三次多项式系数。
这个代码是简单的示例代码，需要根据你的具体情况修改。
以下是用C++实现的RANSAC拟合三次多项式曲线的示例代码：
#include <iostream>#include <vector>#include <random>#include <cmath>using namespace std;// 生成[l, r]之间的随机整数int randomInt(int l, int r) {random_device rd;mt19937 eng(rd());uniform_int_distribution<int> dist(l, r);return dist(eng);}// 计算一组三次多项式系数vector<double> polyfit(vector<double> x, vector<double> y) {int n = x.size();int m = 3; // 三次多项式vector<vector<double>> A(m + 1, vector<double>(m + 1, 0));vector<double> B(m + 1, 0);for (int i = 0; i < n; i++) {double xi = x[i], yi = y[i];for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= m; k++) {if (j == 0 && k == 0) {A[j][k] += 1;} else {A[j][k] += pow(xi, j + k);}}B[j] += pow(xi, j) * yi;}}// 高斯-约旦消元for (int i = 0; i <= m; i++) {double d = A[i][i];for (int j = i; j <= m; j++) {A[i][j] /= d;}B[i] /= d;for (int j = i + 1; j <= m; j++) {double d2 = A[j][i];for (int k = i; k <= m; k++) {A[j][k] -= d2 * A[i][k];}B[j] -= d2 * B[i];}}vector<double> res(m + 1);for (int i = m; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j <= m; j++) {B[i] -= A[i][j] * res[j];}res[i] = B[i];}return res;}// 计算多项式函数的值double polyval(vector<double> c, double x) {double res = 0;for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) {res = res * x + c[i];}return res;}// RANSAC拟合三次多项式曲线vector<double> ransacPolyfit(vector<double> x, vector<double> y, int nIter, double inlierThreshold, int minInliers) {int n = x.size();int m = 3; // 三次多项式int bestNInliers = 0;vector<double> bestModel;vector<int> bestInlierIndices;for (int i = 0; i < nIter; i++) {// 随机选择n个点vector<int> indices(n);for (int j = 0; j < n; j++) {indices[j] = randomInt(0, n - 1);}// 拟合三次多项式曲线vector<double> xSample(n), ySample(n);for (int j = 0; j < n; j++) {xSample[j] = x[indices[j]];ySample[j] = y[indices[j]];}vector<double> model = polyfit(xSample, ySample);// 计算拟合误差和内点个数vector<int> inlierIndices;int nInliers = 0;for (int j = 0; j < n; j++) {double dist = abs(polyval(model, x[j]) - y[j]);if (dist < inlierThreshold) {inlierIndices.push_back(j);nInliers++;}}// 更新最优模型和内点if (nInliers > bestNInliers && nInliers >= minInliers) {bestNInliers = nInliers;bestModel = model;bestInlierIndices = inlierIndices;}}// 使用所有内点重新拟合模型int nInliers = bestInlierIndices.size();vector<double> xInliers(nInliers), yInliers(nInliers);for (int i = 0; i < nInliers; i++) {xInliers[i] = x[bestInlierIndices[i]];yInliers[i] = y[bestInlierIndices[i]];}return polyfit(xInliers, yInliers);}int main() {// 生成随机数据const int n = 100;vector<double> x(n), y(n);for (int i = 0; i < n; i++) {x[i] = i;y[i] = 3 * pow(i - n / 2, 3) - 1000 * pow(i - n / 2, 2) + 50000 * (i - n / 2) + randomInt(-50000, 50000);}// RANSAC拟合int nIter = 1000;double inlierThreshold = 1000;int minInliers = 50;vector<double> c = ransacPolyfit(x, y, nIter, inlierThreshold, minInliers);// 输出拟合结果cout << "拟合结果：y = " << c[0] << " + " << c[1] << "x + " << c[2] << "x^2 + " << c[3] << "x^3" << endl;return 0;}
上述代码中，首先定义了一个函数polyfit用于拟合一组多项式系数，以及一个函数polyval用于计算多项式函数的值。
然后定义了一个函数ransacPolyfit用于RANSAC拟合三次多项式曲线。该函数首先在数据集中随机选择n个点，使用polyfit函数拟合三次多项式曲线，并计算拟合误差以及内点个数。然后在所有迭代中保留内点最多的模型。最后使用所有内点重新拟合模型，并返回拟合的多项式系数。
在主函数中，首先生成一组随机数据。然后指定RANSAC迭代次数、内点阈值和最小内点个数。最后调用ransacPolyfit函数拟合三次多项式曲线，并输出拟合结果。
注：由于RANSAC在大多数情况下会成功拟合出正确的模型，所以本例中没有加入异常处理代码。实际应用中，可能需要加入对异常情况的处理。
