【计算机图形学】DDA算法和Bresenham算法

作者：朱金灿

来源：/clever101/

DDA算法和Bresenham算法是计算机图形学中绘制直线的两种常用算法。本文具体介绍一下DDA算法和Bresenham算法实现的具体思路。DDA算法主要是根据直线公式y = kx + b来推导出来的，其关键之处在于如何设定单位步进，即一个方向的步进为单位步进，另一个方向的步进必然是小于1。算法的具体思路如下：

1. 输入直线的起点、终点；

2. 计算x方向的间距：△X和y方向的间距：△Y。

3. 确定单位步进，取MaxSteps = max（△X，△Y）; 若△X>=△Y，则X方向的步进为单位步进，X方向步进一个单位，Y方向步进△Y/MaxSteps;否则相反。

4. 设置第一个点的像素值

5. 令循环初始值为1，循环次数为MaxSteps，定义变量x,y，执行以下计算：

a. x增加一个单位步进，y增加一个单位步进

b. 设置位置为（x,y）的像素值

具体实现代码如下：

[cpp]view plain copy//@brief浮点数转整数的宏 #defineFloatToInteger(fNum)((fNum>0)?static_cast<int>(fNum+0.5):static_cast<int>(fNum-0.5)) /*! *@briefDDA画线函数 * *@parampDC[in]窗口DC *@paramBeginPt[in]直线起点 *@paramEndPt[in]直线终点 *@paramLineCor[in]直线颜色 *@return无 */ voidCDrawMsg::DDA_DrawLine(CDC*pDC,CPoint&BeginPt,CPoint&EndPt,COLORREFLineCor) { longYDis=(EndPt.y-BeginPt.y); longXDis=(EndPt.x-BeginPt.x); longMaxStep=max(abs(XDis),abs(YDis));//步进的步数 floatfXUnitLen=1.0f;//X方向的单位步进 floatfYUnitLen=1.0f;//Y方向的单位步进 fYUnitLen=static_cast<float>(YDis)/static_cast<float>(MaxStep); fXUnitLen=static_cast<float>(XDis)/static_cast<float>(MaxStep); //设置起点像素颜色 pDC->SetPixel(BeginPt.x,BeginPt.y,LineCor); floatx=static_cast<float>(BeginPt.x); floaty=static_cast<float>(BeginPt.y); //循环步进 for(longi=1;i<=MaxStep;i++) { x=x+fXUnitLen; y=y+fYUnitLen; pDC->SetPixel(FloatToInteger(x),FloatToInteger(y),LineCor); } }

Bresenham算法是DDA算法画线算法的一种改进算法。本质上它也是采取了步进的思想。不过它比DDA算法作了优化，避免了步进时浮点数运算，同时为选取符合直线方程的点提供了一个好思路。首先通过直线的斜率确定了在x方向进行单位步进还是y方向进行单位步进：当斜率k的绝对值|k|<1时，在x方向进行单位步进；当斜率k的绝对值|k|>1时，在y方向进行单位步进。

下面以|k|<1时推导Bresenham算法的数学依据：

请看上图，已知有一直线y = kx+b，|k|<1。我们通过斜率确定了x方向为单位步进。当x = Xm时，y = Ym。那么当x 执行一个单位步进时（即x = Xm+1时）,y等于Ym还是等于Ym+1更符合这个直线方程呢？单凭肉眼我们很难得出结论，最好的办法当然是比较Ym和Ym+1和真实的方程的y值的差是多少（即Yreal = k*(Xm+1)+b），看看哪一个更靠近真实的方程的y值。

我们设

Dupper = Ym+1 - Yreal = Ym+1 - k*(Xm+1)+b）; 表示Ym+1和方程真实值的差

Ddown = Yreal - Ym = k*(Xm+1)+b）- Ym; 表示Ym和方程真实值的差

那就是我们要比较Dupper和Ddown的大小。假设

Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）

令△X 为线段x方向的间距，△Y 为线段y方向的间距。

Pm = △X* Diff = 2*△X* Ym-2*△Y* Xm-2*△Y-△X*（2b-1）；

那么Pm+1 = Pm+2*△X*（Ym+1- Ym）-2*△Y；

其中Ym+1- Ym取0还是1，取决于Pm的符号。

根据等式Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）以及k = △Y/△X，我们可以得出起始像素（x0,y0）的参数p0的值：

P0 =△X-2*△Y；

同理我们推出|k|>1的情况，Qm = 2*Xm*△Y-2*Ym*△X+（2b-2）*△X+△Y；

Qm+1 = Qm+2*（Xm+1-Xm）*△Y-2*△X；

其中Xm+1-Xm等于0还是1，取决于Qm的符号

其中第一个参数Q0 = △Y-2*△X；

明白了数学原理，我们很快能确定算法步骤：

1. 输入线段的起点和终点。

2. 判断线段的斜率是否存在（即起点和终点的x坐标是否相同），若相同，即斜率不存在，

只需计算y方向的单位步进（△Y+1次），x方向的坐标保持不变即可绘制直线。

3. 计算线段的斜率k，分为下面几种情况处理

a. k等于0，即线段平行于x轴，即程序只需计算x方向的单位步进，y方向的值不变

b. |k|等于1，即线段的x方向的单位步进和y方向的单位步进一样，皆为1。直接循环△X次计算x和y坐标。

4. 根据输入的起点和终点的x、y坐标值的大小决定x方向和y方向的单位步进是1还是-1

6. 画出第一个点。

7. 若|k| <1，设m =0,计算P0，如果Pm>0，下一个要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym），

Pm+1 = Pm -2*△Y;

否则要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym+单位步进）

Pm+1 = Pm+2*△X-2*△Y；

8. 重复执行第七步△X-1次；

9. 若|k| >1，设m =0,计算Q0，如果Qm>0，下一个要绘制的点为（Xm，Ym+单位步进），

Pm+1 = Pm -2*△X;

否则要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym+单位步进）

Pm+1 = Pm+2*△Y-2*△X；

10. 重复执行第9步△Y-1次；

参考文献：

1. 计算机图形学，作者: (美国)Donald Hearn(美国)M.Pauline Baker 译者: 蔡士杰，宋继强，蔡敏