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学习目标：学习内容：第一章基本概念一、基本公式二、误差来源：三、误差分类 四、精度五、有效数字与数据运算 第二章基本性质与处理一、随机误差学习目标：
复习整理《误差理论与数据处理》
学习内容：
第一章基本概念
一、基本公式
（真值可以用高一等级精度的标准所测得的量值称之为实际值）
误差＝ 测得值 - 真值
绝对误差 = 测得值 - 真值
相对误差 = 绝对误差 / 真值
示值误差 = 测得值 - 真值
引用误差= 示值误差 / 测量范围上限值 （可用以判断仪表精度等级）
仪表精度等级：0.1 、0.2 、0.5 、1.0 、1.5 、2.0若引用误差为0.8，则其仪表精度等级为1.0
二、误差来源：
（一）测量装置误差
1、标准量具误差
2、仪器误差
3、附件误差即附属工具误差
（二）环境误差
（三）方法误差
（四）人员误差
三、误差分类
1、系统误差：在同一条件下。多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或是条件改变时，按照一定规律变化的误差。
2、随机误差：在同一条件下。多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定的方式变化的误差。
3、粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
四、精度
1、准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度
1、精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度
1、准确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度
五、有效数字与数据运算
（一）数字舍入规则
1、若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加 1
2、若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变
3、若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数
（二）数据运算规则
近似数中加减运算时，各数据按照以小数位最少的数据位数为准，结果也是位数以小数位最少的相同；乘除运算中，按照有效位数最少为标准。
第二章基本性质与处理
一、随机误差
1、产生原因：测量装置方面的因素、环境方面的因素、人员方面的因素。
2、正态分布：若测量中不包含系统误差和粗大误差，则测量的随机误差一般满足正态分布的特征，多数随机误差都服从正态分布。
正态分布特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。
设被测量的真值为 L 0 L_{0} L0，一系列测得值为 l i l_{i} li，则测量列中的随机误差 δ i \delta_{i} δi 为：
δ i = l i − L 0 \delta _{i}=l_{i}-L_{0} δi=li−L0
正态分布的分布密度 f ( δ ) f\left( \delta\right) f(δ) 为：
f ( δ ) = 1 δ 2 π e − δ / ( 2 σ 2 ) f\left( \delta\right) =\dfrac{1}{\delta \sqrt{2\pi }}e^{-\delta /\left( 2\sigma ^{2}\right) } f(δ)=δ2π 1e−δ/(2σ2)
其分布函数 F ( δ ) F\left( \delta\right) F(δ) 为：
F ( δ ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ δ e − δ 2 / ( 2 σ 2 ) d δ F\left(\delta\right) =\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{\delta }e^{-\delta^{2}/\left( 2\sigma ^{2}\right) }d\delta F(δ)=σ2π 1∫−∞δe−δ2/(2σ2)dδ
其中 σ \sigma σ 为标准差（或称为均方根误差）， e e e 为自然对数的底，值 2.7182 。
他的数学期望为：
E = ∫ − ∞ ∞ δ f ( δ ) d δ = 0 E=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f\left( \delta\right) d\delta=0 E=∫−∞∞δf(δ)dδ=0
他的方差为：
σ 2 = ∫ − ∞ ∞ δ 2 f ( δ ) d δ \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\delta ^{2}f\left( \delta\right) d\delta σ2=∫−∞∞δ2f(δ)dδ
它的平均误差为：
θ = ∫ − ∞ ∞ ∣ δ ∣ f ( δ ) d δ = 0.7979 σ ≈ 4 5 σ \theta=\int _{-\infty }^{\infty }|\delta|f\left( \delta\right) d\delta=0.7979\sigma\approx\dfrac{4}{5}\sigma θ=∫−∞∞∣δ∣f(δ)dδ=0.7979σ≈54σ
由此可以得到：
∫ − p p f ( δ ) d δ = 1 2 \int ^{p}_{-p}f\left( \delta \right) d\delta=\dfrac{1}{2} ∫−ppf(δ)dδ=21
可解得或然误差为：
ρ = 0.6745 σ ≈ 2 3 σ \rho =0.6745\sigma \approx \dfrac{2}{3}\sigma ρ=0.6745σ≈32σ
3、算术平方值：在系列测量中，被测量的 n 个测得值 l i li li 的代数和除以 n 而得到的值。
x ‾ = l 1 + l 2 + … ln n = ∑ i = 1 n l i n \overline{x}=\dfrac{l_{1}+l_{2}+\ldots \ln }{n}=\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}li}{n} x=nl1+l2+…ln=n∑i=1nli
算术平均值和真值最接近。根据概率论的大数定律可知，若测量次数无限增长，则算术平均值必然趋近于真值。
∑ i = 1 n δ i = ∑ i = 1 n l i − n L 0 \sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}=\sum ^{n}_{i=1}l_{i-n}L_{0} i=1∑nδi=i=1∑nli−nL0
L 0 = ∑ i = 1 n l i n − ∑ i = 1 n δ i n L_{0}=\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}li}{n }-\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}}{n} L0=n∑i=1nli−n∑i=1nδi
L 0 = x ‾ − ∑ i = 1 n δ i n L_{0}=\overline{x}-\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}}{n } L0=x−n∑i=1nδi
其中 n n n 趋近于无穷，则 ∑ i = 1 n δ i n \dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}}{n } n∑i=1nδi 趋近于0。
算术平均值的计算校验通常用残余误差：
∑ i = 1 n v i = ∑ i = 1 n l i − n x ‾ \sum ^{n}_{i=1}v_{i}=\sum ^{n}_{i=1}l_{i}-n\overline{x} i=1∑nvi=i=1∑nli−nx
当有 ∑ i = 1 n v i = 0 \sum ^{n}_{i=1}v_{i}=0 ∑i=1nvi=0 时，则算术平均值正确，非零时说明算术平均值存在误差，进行修正。
当 n n n 为偶数， ∣ ∑ i = 1 n v i ∣ ≤ n 2 A \left| \sum ^{n}_{i=1}v_{i}\right| \leq \dfrac{n}{2}A ∣∑i=1nvi∣≤2nA，则算术平均值正确；
当 n n n为奇数时， ∣ ∑ i = 1 n v i ∣ ≤ n − 1 2 A \left| \sum ^{n}_{i=1}v_{i}\right| \leq \dfrac{n-1}{2}A ∣∑i=1nvi∣≤2n−1A，则算术平均值正确；
A为实际求得算术平均值末位数的一个单位
4、测量的标准差
（一）单次测量的标准差
标准差 σ \sigma σ 值越小，则e的指数的绝对值越大，因而 f ( δ ) f\left( \delta\right) f(δ) 减小的越快，即曲线变陡。而 σ \sigma σ 值越小，则e的前面系数变大，曲线变高。
在等精度测量列中，单次测量的标准差计算：
σ = δ 1 2 + δ 2 2 + … + δ n 2 n = ∑ i = 1 n δ i 2 n \sigma =\sqrt{\dfrac{\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}+\ldots +\delta _{n}^{2}}{n}}=\sqrt{\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}^{2}}{n}} σ=nδ12+δ22+…+δn2 =n∑i=1nδi2
贝塞尔公式（单次测量的标准差的估计值）：
σ = ∑ i = 1 n v i 2 n − 1 \sigma =\sqrt{\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}v _{i}^{2}}{n-1}} σ=n−1∑i=1nvi2
评估单次测量的不可靠性的参数有或然误差 ρ \rho ρ 和平均误差 θ \theta θ
ρ ≈ 2 3 ∑ i = 1 n ν i 2 n − 1 \rho \approx \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\nu _{i}^2}{n-1}} ρ≈32n−1∑i=1nνi2
θ ≈ 4 5 ∑ i = 1 n ν i 2 n − 1 \theta\approx \dfrac{4}{5}\sqrt{\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\nu _{i}^2}{n-1}} θ≈54n−1∑i=1nνi2
（二）测量列算术平均值的标准差：
σ x ‾ = σ n \sigma _{\overline{x}}=\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}} σx=n σ
其中或然误差R和平均误差T
R = 2 3 σ x ‾ = 2 3 σ n = ρ n R=\dfrac{2}{3}\sigma _{\overline{x}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}=\dfrac{\rho }{\sqrt{n}} R=32σx=32n σ=n ρ
T = 4 5 σ x ‾ = 4 5 σ n = θ n T=\dfrac{4}{5}\sigma _{\overline{x}}=\dfrac{4}{5}\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}=\dfrac{\theta }{\sqrt{n}} T=54σx=54n σ=n θ
6、标准差的其他算法
别捷尔斯法：
σ = 1.253 ∑ i = 1 n ∣ v i ∣ n ( n − 1 ) \sigma =1.253\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}\left| v_{i}\right| }{\sqrt {n\left( n-1\right) }} σ=1.253n(n−1) ∑i=1n∣vi∣
σ x ‾ = 1.253 ∑ = 1 n ∣ v i ∣ n ( n − 1 ) \sigma_{\overline{x}} =1.253\dfrac{\sum ^{n}_{=1}\left| v_{i}\right| }{n\sqrt {\left( n-1\right) }} σx=1.253n(n−1) ∑=1n∣vi∣
极差法：选取最小值 x m i n x_{min} xmin和最大值 x m a x x_{max} xmax，两者之差为极差 ω n = x m a x − x m i n \omega_{n}=x_{max}-x_{min} ωn=xmax−xmin，求出极差的数学期望为 E ( ω n ) = d n σ E(\omega_{n})=d_{n}\sigma E(ωn)=dnσ，既得 σ = ω n d n \sigma=\dfrac{\omega_{n}}{d_{n}} σ=dnωn。
最大误差法：
σ = ∣ δ i ∣ m a x K n \sigma=\dfrac{|\delta _{i}|_{max}}{K_{n}} σ=Kn∣δi∣max
5、极限误差
（一）单次测量的极限误差
随机误差在 − δ -\delta −δ 至 + δ +\delta +δ 范围内的概率为：
P ( ± δ ) = 1 σ 2 π ∫ − δ + δ e − δ 2 / ( 2 σ 2 ) d δ = 2 σ 2 π ∫ 0 δ e − δ 2 / ( 2 σ 2 ) d δ \begin{aligned}P\left( \pm \delta \right) =\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int ^{+\delta }_{-\delta }e^{-\delta ^{2}/\left(2\sigma^{2}\right) }d\delta \end{aligned} =\dfrac{2}{\sigma\sqrt{2\pi }}\int _{0}^{\delta }e^{ -\delta ^{2}/(2\sigma ^{2}) }d\delta P(±δ)=σ2π 1∫−δ+δe−δ2/(2σ2)dδ=σ2π 2∫0δe−δ2/(2σ2)dδ
引入变量t ， t = δ σ t=\dfrac{\delta}{\sigma} t=σδ， δ = t σ \delta=t\sigma δ=tσ
得到：
P ( ± δ ) = 2 σ 2 π ∫ 0 δ e − δ 2 / ( 2 σ 2 ) d δ = 2 Φ ( t ) P\left( \pm \delta \right)=\dfrac{2}{\sigma\sqrt{2\pi }}\int _{0}^{\delta }e^{ -\delta ^{2}/(2\sigma ^{2}) }d\delta=2\Phi \left( t\right) P(±δ)=σ2π 2∫0δe−δ2/(2σ2)dδ=2Φ(t)
其中 Φ ( t ) \Phi \left( t\right) Φ(t)为概率积分。可查表得到
单次测量的极限误差： δ l i m = ± t σ \delta_{lim}=±t\sigma δlim=±tσ
（二）算术平均值的极限误差
表达式为： δ l i m x ‾ = ± t α σ x ‾ \delta_{lim}\overline{x}=±t_{\alpha}\sigma_{\overline{x}} δlimx=±tασx
α \alpha α通常取0.01，0.02，0.05。而 ν = n − 1 \nu=n-1 ν=n−1
6、不等精度测量
在不等精度测量中，各测得值的可靠程度并不一样，因而不能依靠登进肚里的算术平均值作为最后测量结果，需要计算出各测量结果的所占比重值，可靠程度值叫做“权”。
计算方式：
假设同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结构是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得算术平均值 x ‾ i \overline{x}_{i} xi，得到各组算术平均值的标准 σ x ‾ i \sigma_{\overline{x}_{i}} σxi。权表示为
p 1 : p 2 : … : p m = 1 σ x ‾ 1 2 : 1 σ x ‾ 2 2 : … : 1 σ x ‾ m 2 p_{1}:p_{2}:\ldots :p_{m}=\dfrac{1}{\sigma _{\overline{x}_{1}}^{2}}:\dfrac{1}{\sigma _{\overline{x}_{2}}^2}:\ldots :\dfrac{1}{\sigma _{\overline{x}_{m}}^2} p1:p2:…:pm=σx121:σx221:…:σxm21
权的算术平均值：m组测量次数为 n 1 , n 2 , … , n m n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m} n1,n2,…,nm， x 0 {x}_{0} x0为任选参考值。
x ‾ = x 0 + ∑ i = 1 m p i ( x ‾ i − x 0 ) ∑ i = 1 m p i \overline{x}=x_{0}+\dfrac{\sum ^{m}_{i=1}p_{i}\left( \overline{x}_{i}-x_{0}\right) }{\sum ^{m}_{i=1}p_{i}} x=x0+∑i=1mpi∑i=1mpi(xi−x0)
权的算术平均值的标准差：其中 v x ‾ i = x ‾ i − x ‾ v_{\overline{x}_{i}}=\overline{x}_{i}-\overline{x} vxi=xi−x
σ i = ∑ i = 1 m p i v x ‾ i 2 ( m − 1 ) ∑ i = 1 m p i \sigma _{i}=\sqrt{\dfrac{\sum ^{m}_{i=1}p_{i}v_{\overline{x}_{i}}^{2}}{\left( m-1\right) \sum ^{m}_{i=1}p_{i}}} σi=(m−1)∑i=1mpi∑i=1mpivxi2
7、随机误差的其他分布
（一）均匀分布：
均匀分布其特点是误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，又称矩形分布或等概率分布。分布密度 f ( δ ) f(\delta) f(δ) 和分布函数 F ( δ ) F(\delta) F(δ) 。
（二）反正弦分布
（三）三角分布
当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和，其和的分布规律服从三角分布，又称为辛普逊分布。
