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数字图像处理学习笔记4：图像增强之空间滤波2（一阶微分锐化滤波（梯度）二阶微分锐

时间：2019-08-17 06:38:54

文章目录

前言一、一阶微分和二阶微分的定义二、一阶微分锐化滤波：梯度1.梯度2.sobel算子及MATLAB代码二、二阶微分锐化滤波：拉普拉斯算子1.拉普拉斯算子2.拉普拉斯算子MATLAB代码三、非锐化掩蔽和高提升滤波1.非锐化掩蔽和高提升滤波2.MATLAB代码总结

前言

锐化滤波的主要目的是突出灰度的过渡部分，比如图像中物体的边缘。

一、一阶微分和二阶微分的定义

一阶微分：

（1）在恒定灰度值得区域一阶微分值为零；

（2）在灰度变化的台阶以及斜坡处一阶微分值非零；

（3）沿着斜坡的一阶微分值非零。

对一维函数，公式定义如下：

∂ f ∂ x = f ( x + 1 ) − f ( x ) ，（ 1 ） \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=f(x+1)-f(x)，（1） ∂x∂f=f(x+1)−f(x)，（1）

二阶微分：

（1）在恒定灰度值得区域二阶微分值为零；

（2）在灰度变化的台阶以及斜坡处起点的二阶微分值非零；

（3）沿着斜坡的二阶微分值为零。

公式定义如下：

∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x ) ，（ 2 ） \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)，（2） ∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)，（2）

具体如下图

图来自《数字图像处理》

二、一阶微分锐化滤波：梯度

1.梯度

图像中将一阶微分用梯度幅值定义，在坐标（x,y）处点的梯度定义为一个二维列向量：

∇ f ≡ g r a d ( f ) ≡ [ g x g y ] ≡ [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] , （ 3 ） \nabla{f}\equiv grad(f) \equiv \left[ \begin{array}{cc} g_x\\ g_y \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \end{array} \right],（3） ∇f≡grad(f)≡[gxgy]≡[∂x∂f∂y∂f],（3）

然后定义图像对应的梯度图像M(x,y),M(x,y)中的值为 ∇ f \nabla{f} ∇f的幅度值（长度）：

M ( x , y ) = m a g ( ∇ f ) = g x 2 + g y 2 , （ 4 ） M(x,y)=mag(\nabla{f})=\sqrt{g_x^2+g_y^2},（4） M(x,y)=mag(∇f)=gx2+gy2 ,（4）

或者

M ( x , y ) = m a g ( ∇ f ) = ∣ g x ∣ + ∣ g y ∣ , （ 5 ） M(x,y)=mag(\nabla{f})=|g_x|+|g_y|,（5） M(x,y)=mag(∇f)=∣gx∣+∣gy∣,（5）

由第一节的一阶微分定义：

当处于灰度值不变的区域中时， g x g_x gx和 g y g_y gy都是0，则梯度图像对应位置的灰度值大小也为0；

当处于沿x变化的过渡点时， g x g_x gx非零， g y g_y gy为零，则梯度图像在对应位置的大小为 ∣ g x ∣ |g_x| ∣gx∣；

同理可推其他情况。

2.sobel算子及MATLAB代码

sobel算子如下：

分别为 g x g_x gx和 g y g_y gy的计算窗口

注：教材中的坐标轴规定如下

以图像左上角为原点，x轴向下，y轴向右。

以3×3模板为例：

f ( x − 1 , y − 1 ) f ( x − 1 , y ) f ( x − 1 , y + 1 ) f ( x , y − 1 ) f ( x , y ) f ( x , y + 1 ) f ( x + 1 , y − 1 ) f ( x + 1 , y ) f ( x + 1 , y + 1 ) \begin{matrix} f(x-1,y-1) & f(x-1,y)& f(x-1,y+1) \\ f(x,y-1) & f(x,y) & f(x,y+1) \\ f(x+1,y-1)& f(x+1,y) & f(x+1,y+1) \\ \end{matrix} f(x−1,y−1)f(x,y−1)f(x+1,y−1)f(x−1,y)f(x,y)f(x+1,y)f(x−1,y+1)f(x,y+1)f(x+1,y+1)

g x g_x gx和 g y g_y gy的计算公式分别为为：

g x = ∂ f ∂ x = [ f ( x + 1 , y − 1 ) + 2 f ( x + 1 , y ) + f ( x + 1 , y + 1 ) ] − [ f ( x − 1 , y − 1 ) + 2 f ( x − 1 , y ) + f ( x − 1 , y + 1 ) ] g_x=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=[f(x+1,y-1)+2f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2f(x-1,y)+f(x-1,y+1)] gx=∂x∂f=[f(x+1,y−1)+2f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]−[f(x−1,y−1)+2f(x−1,y)+f(x−1,y+1)]

g y = ∂ f ∂ y = [ f ( x − 1 , y + 1 ) + 2 f ( x , y + 1 ) + f ( x + 1 , y + 1 ) ] − [ f ( x − 1 , y − 1 ) + 2 f ( x , y − 1 ) + f ( x + 1 , y − 1 ) ] g_y=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=[f(x-1,y+1)+2f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2f(x,y-1)+f(x+1,y-1)] gy=∂y∂f=[f(x−1,y+1)+2f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]−[f(x−1,y−1)+2f(x,y−1)+f(x+1,y−1)]

则M(x,y)=| g x g_x gx|+| g y g_y gy|=…

MATLAB代码如下

clc;clear;close allim1=imread('1.jpg'); %读取图像：彩色图figureimshow(im1)im2=rgb2gray(im1); %获得灰度图figureimshow(im2)f = padarray(im2,[1,1],'symmetric','both');%此处是对原图矩阵扩充，因为处理窗口为3×3，%要使图像最外层像素得到处理，则需要四边都向外面扩充一排，此处使用镜面扩充[m,n]=size(f);%获取矩阵大小M=zeros(size(f));%提前定义梯度图像M，有利于提高运算速度for x=2:m-1for y=2:n-1gx=(f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)) - (f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1));gy=(f(x-1,y+1)+2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)) - (f(x-1,y-1)+2*f(x,y-1)+f(x+1,y-1));%使用上面的公式计算gx,gy。其他算子类似。M(x,y)=abs(gx)+abs(gy);endendM=M(2:m-1,2:n-1);%去掉扩充的行列figureimshow(M)

二、二阶微分锐化滤波：拉普拉斯算子

1.拉普拉斯算子

与一阶微分相似，拉普拉斯对应的计算公式如下图：

图片来自数字图像处理

拉普拉斯算子模板如下：

2.拉普拉斯算子MATLAB代码

以上图最左边模板为例：

clc;clear;close allim1=imread('1.jpg'); %读取图像：彩色图figureimshow(im1)im2=rgb2gray(im1); %获得灰度图figureimshow(im2)f = padarray(im2,[1,1],'symmetric','both');%此处是对原图矩阵扩充，因为处理窗口为3×3，%要使图像最外层像素得到处理，则需要四边都向外面扩充一排，此处使用镜面扩充[m,n]=size(f);%获取矩阵大小M=zeros(size(f));%提前定义梯度图像M，有利于提高运算速度for x=2:m-1for y=2:n-1M(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4*f(x,y);%以3.6-6的公式计算，其他算子模板类似endendM=M(2:m-1,2:n-1);%去掉扩充的行列figureimshow(M)

三、非锐化掩蔽和高提升滤波

1.非锐化掩蔽和高提升滤波

非锐化掩蔽：从原图减去一个非锐化（平滑过的）图像。

步骤如下：

（1）模糊原图像（比如平滑滤波）；

（2）原图减去模糊图像，得到的差值图像成为模板；

（3）将模板加到原图像上得到锐化图像。

公式如下：

g m a s k ( x , y ) = f ( x , y ) − f ′ ( x , y ) g_{mask}(x,y)=f(x,y)-f'(x,y) gmask(x,y)=f(x,y)−f′(x,y)

其中f(x,y)为原图，f’(x,y)为模糊图像， g m a s k ( x , y ) g_{mask}(x,y) gmask(x,y)为模板

则锐化图像g(x,y):

g ( x , y ) = f ( x , y ) + k ∗ g m a s k ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)+k*g_{mask}(x,y) g(x,y)=f(x,y)+k∗gmask(x,y)

其中k为权重（>0），当k>1时成为高提升滤波，当k<1时则不强调模板的贡献

2.MATLAB代码

模糊方法以高斯模糊为例

clc;clear;close allim1=imread('1.jpg'); %读取图像：彩色图figureimshow(im1)im2=rgb2gray(im1); %获得灰度图figureimshow(im2)w=fspecial('gaussian',[5 5],5);im3=imfilter(im2,w); %高斯模糊，也可以使用其他平滑算法figureimshow(im3);g=im2-im3; %模板im4=im2+g; %锐化图像figureimshow(im4)