最近我们被客户要求撰写关于随机波动率(SV)的研究报告，包括一些图形和统计输出。
在这个例子中，我们考虑随机波动率模型 SV0 的应用，例如在金融领域。
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统计模型
随机波动率模型定义如下
并为
其中 yt 是因变量，xt是 yt 的未观察到的对数波动率。N(m,σ2) 表示均值 m和方差 σ2 的正态分布。
α、β和 σ是需要估计的未知参数。
BUGS语言统计模型
文件内容'sv.bug'：
moelfle = 'sv.bug' # BUGS模型文件名cat(readLies(moelfle ), sep = "\n")
# 随机波动率模型SV_0# 用于随机波动率模型var y[t_max], x[t_max], prec_y[t_max]model{alha ~ dnorm(0,10000)logteta ~ dnorm(0,.1)bea <- ilogit(loit_ta)lg_sima ~ dnorm(0, 1)sia <- exp(log_sigma)x[1] ~ dnorm(0, 1/sma^2)pr_y[1] <- exp(-x[1])y[1] ~ dnorm(0, prec_y[1])for (t in 2:t_max){x[t] ~ dnorm(aa + eta*(t-1]-alha, 1/ia^2)pr_y[t] <- exp(-x[t])y[t] ~ dnorm(0, prec_y[t])}
设置
设置随机数生成器种子以实现可重复性
set.seed(0)
加载模型并加载或模拟数据
sample_data = TRUE # 模拟数据或SP500数据t_max = 100if (!sampe_ata) {# 加载数据 tab = read.csv('SP500.csv')y = diff(log(rev(tab$ose)))SP5ate_str = revtab$te[-1])ind = 1:t_maxy = y[ind]SP500_dae_r = SP0dae_tr[ind]SP500_e_num = as.Date(SP500_dtetr)
模型参数
if (!smle_dta) {dat = list(t_ma=ax, y=y)} else {sigrue = .4; alpa_rue = 0; bettrue=.99;dat = list(t_mx=_mx, sigm_tue=simarue,alpatrue=alhatrue, bet_tue=e_true)}
如果模拟数据，编译BUGS模型和样本数据
data = mdl$da()
绘制数据
对数收益率
Biips粒子边际Metropolis-Hastings
我们现在运行Biips粒子边际Metropolis-Hastings（Particle Marginal Metropolis-Hastings），以获得参数 α、β和 σ以及变量 x 的后验 MCMC 样本。
PMMH的参数
n_brn = 5000 # 预烧/适应迭代的数量n_ir = 10000 #预烧后的迭代次数thn = 5 #对MCMC输出进行稀释n_art = 50 # 用于SMC的nb个粒子para_nmes = c('apha', 'loit_bta', 'logsgma') # 用MCMC更新的变量名称（其他变量用SMC更新）。latetnams = c('x') # 用SMC更新的、需要监测的变量名称
初始化PMMH
运行 PMMH
update(b_pmh, n_bun, _rt) #预烧和拟合迭代
samples(oj_mh, ter, n_art, thin=hn) # 采样
汇总统计
summary(otmmh, prob=c(.025, .975))
计算核密度估计
density(out_mh)
参数的后验均值和置信区间
for (k in 1:length(pram_names)) {suparam = su_pmm[[pam_as[k]]]cat(param$q)}
参数的MCMC样本的踪迹
if (amldata)para_tue = c(lp_tue, log(dt$bea_rue/(-dta$eatru)), log(smtue)))for (k in 1:length(param_aes)) {smps_pm = tmmh[[paranesk]]plot(samlespram[1,]
PMMH：跟踪样本参数
参数后验的直方图和 KDE 估计
for (k in 1:length(paramns)) {samps_aram = out_mmh[[pramnaes[k]]]hist(sple_param)if (sample_data)points(parm_true)}
PMMH：直方图后验参数
for (k in 1:length(parm) {kd_pram =kde_mm[[paramames[k]]]plot(kd_arm, col'blueif (smpldata)points(ar_true[k])}
PMMH：KDE 估计后验参数
x 的后均值和分位数
x_m_mean = x$meanx_p_quant =x$quantplot(xx, yy)polygon(xx, yy)lines(1:t_max, x_p_man)if (ame_at) {lines(1:t_ax, x_true)} elselegend(bt='n)
PMMH：后验均值和分位数
x 的 MCMC 样本的踪迹
par(mfrow=c(2,2))for (k in 1:length) {tk = ie_inex[k]if (sample_data)points(0, dtax_t}if (sml_aa) {plot(0legend('center')}
PMMH：跟踪样本 x
x 后验的直方图和核密度估计
par(mfow=c(2,2))for (k in 1:length(tie_dex)) {tk = tmnex[k]hist(ot_m$x[tk,]main=aste(t=', t, se='')if (sample_data)points(ata$x_re[t], }if (saml_dta) {plot(0, type='n', bty='n', xlegend('centerbty='n')}
PMMH：后边际直方图
par(mfrow=c(2,2))for (k in 1:length(idx)) {tk =m_dx[k]plot(kmmk]] if (alata)point(dat_r[k], 0)}if (aldt) {plot(0, type='n', bty='n', x, pt.bg=c(4,NA)')}
