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1. 符号定义1.1 sym函数介绍1.1.1 定义单个符号1.1.2 定义多个符号1.1.3 保留真实数据1.2 syms函数介绍1.2.1 定义不同变量1.2.2 定义多行符号2. 代换符号2.1 代换表达式中的符号2.2 控制替换后的精度3. 其他函数3.1 因式分解3.2 展开表达式3.3 合并同类项3.4 化简3.5 通分3.6 嵌套分解3.7 求反函数3.8 复合函数

1. 符号定义

1.1 sym函数介绍

1.1.1 定义单个符号

sym函数能够定义单个的符号变量，如下所示：

a = sym('a')

运行后的显示为：

a =

a

1.1.2 定义多个符号

当需要定义多个变量时，则可以在后面写上需要变量的行数与列数，其可以生成多行多列的变量矩阵。

A = sym('a',[2 4])

打印出的结果如下

A =

[ a1_1, a1_2, a1_3, a1_4]

[ a2_1, a2_2, a2_3, a2_4]

当想调用对应的符号时用矩阵元素的索引即可

f = A(1,3) * 8

f =

8*a1_3

sym还支持自定义生成的变量的形式，

A = sym('a_%d_%d',[2 4])

生成的符号就是a_1_1的形式。

1.1.3 保留真实数据

使用sym函数能够将数据的值进行精确的保留，不必要担心计算机计算的误差等问题。

例如，当计算 1123467∗34\frac{1}{123467} * \frac{3}{4}1234671​∗43​ 时，我们想要的是准确的分数形式，但是直接输入的话会导致答案成为浮点形式，这时使用sym函数就能避免这种情况。

直接输入如下：

answer = 1 / 1234567 * (3 / 4)

输出为

answer =

6.0750e-07

使用sym函数转换后：

answer2 = 1 / sym(1234567) * (3 / 4)

输出为

answer2 =

3/4938268

该答案为分式形式的准确解。

注意：在使用sym函数进行精度保留时，不能将其写为sym(1/1234567)，写成这种形式时会优先计算1/1234567再将其转为分式，精度已经得到了损失。

1.2 syms函数介绍

1.2.1 定义不同变量

syms函数能够很快的定义多个不同的变量，变量之间只需要使用空格隔开就行，形式如下：

syms a b c d

使用whos命令查看所有变量为

NameSizeBytes ClassAttributes

a1x18sym

b1x18sym

c1x18sym

d1x18sym

1.2.2 定义多行符号

syms同样可以定义多行多列的数据类型，形式如下

syms a [4 3]

以上代码定义了一个4*3的符号，等价于a=sym('a', [4 3])，符号全部存储在a当中，需要使用时只需要使用诸如a(1,3)的索引即可。

2. 代换符号

使用符号定义了一个符号函数后，往往需要将符号函数中的一些符号代换成其他符号或者数值类型，这种情况下一般使用subs函数。

2.1 代换表达式中的符号

subs函数的一般形式如下

subs(S, old, new)

其参数的含义是在符号表达式S中，利用new中的符号或数值替换old中的符号。

其示例如下

syms a b c x yf = a * x^2 + b * y + c;%原表达式syms mf1 = subs(f, [x y], [sin(x) log(y)]) %符号替换符号f2 = subs(f, [a b], [2 3]) %数值替换符号f3 = subs(f, a, 1: 4) %多数值替换符号

输出如下：

f1 =

a*sin(x)^2 + c + b*log(y)

f2 =

2*x^2 + c + 3*y

f3 =

[ x^2 + c + b*y, 2*x^2 + c + b*y, 3*x^2 + c + b*y, 4*x^2 + c + b*y]

2.2 控制替换后的精度

使用数值对表达式进行了替换后，往往需要对精度做一定的控制与保证，这个时候就需要使用vpa函数了。

控制精度的方法有两种，一是用digits函数+vpa函数，一种是直接用vpa函数。

方式一：digits+vpa

digits函数规定了精度的保留位数 ，默认是32位，vpa函数对数值进行计算。如digits(10)代表精度保留为有效数字10位，digits函数使用后必须要配合vpa函数使用。

例

计算 π∗e2\pi * e^2π∗e2 的值，保留50位有效数字。

digits(50); %保留50位精度y = str2sym('pi * exp(2)'); %将字符串转为sym形式vpa(y)

输出如下：

ans =

23.213404357363387236150345896006882480062932649056

有效数字位数为50位。

方式二：vpa

vpa函数有还有一种格式如下

vpa(E, D)

其中E为传入的要计算的值，D为要保留的精度。

例

计算 f(x)=cos1+sin1f(x) = cos1+sin1f(x)=cos1+sin1 的值，保留50位有效数字。

syms xf(x) = cos(x) + sin(x);y = vpa(f(1), 50)

上述代码计算 f(1)f(1)f(1) 的值，设定精度为50，结果为

y =

1.3817732906760362240534389290732756033548734814163

3. 其他函数

3.1 因式分解

符号表达式中使用factor函数对符号表达式进行因式分解，调用格式如下

factor(E)

其中E为符号表达式.

例

化简 f=x3+x2−x−1f=x^3+x^2 - x - 1f=x3+x2−x−1

syms xf = x^3 + x^2 - x - 1;f1 = factor(f)

输出为

f1 =

[ x - 1, x + 1, x + 1]

3.2 展开表达式

使用expand函数对符号表达式进行展开，调用格式如下

expand(E)

其中E为符号表达式.

例

展开函数 f=(x+y)4f=(x + y)^4f=(x+y)4

syms x yf= (x + y)^4;f1 = expand(f)

输出为

f1 =

x^4 + 4*x^3*y + 6*x^2*y^2 + 4*x*y^3 + y^4

3.3 合并同类项

使用collect函数对符号表达式进行展开，其调用格式有两种

collect(E)

将符号表达式E中各sym变量前的系数进行合并。

collect(E, v)

将符号表达式E中的v的同幂项系数进行合并。

例

将函数 f=−axe−cx+be−cxf=-axe^{-cx} + be^{-cx}f=−axe−cx+be−cx的同类项进行合并。

注意，该题下如果不指定合并的项数，那么其将不会进行合并，因为没有除了数值外相同的sym项，比如下面的代码

syms a b c xf = -a * x * exp(-c * x) + b * exp(-c * x)f1 = collect(f)

输出为

f1 =

(-a*exp(-c*x))*x + b*exp(-c*x)

不能说没有变化，只能说变了不如没变。

该题要想合并必须指定合并的项，

syms a b c xf = -a * x * exp(-c * x) + b * exp(-c * x)f1 = collect(f,exp(-c*x))

输出为

f1 =

(b - a*x)*exp(-c*x)

3.4 化简

使用simplify函数对符号表达式进行化简，调用格式如下

simplify(E)

其中E为符号表达式.

例

化简函数 e1=cos2x+sin2xe_1= cos^2x + sin^2xe1​=cos2x+sin2x 和 e2=ec∗ln(a+b)e_2= e^{c * ln(a + b)}e2​=ec∗ln(a+b)

syms x a b c;e10 = sin(x)^2 + cos(x) ^2;e1 = simplify(e10);e20 = exp(c * log(a+ b));e2 = simplify(e20);

输出为

e1 =

1

e2 =

(a + b)^c

除此之外，也可用simple函数进行化简，simple会对符号表达式进行不同的尝试，并返回长度最短的形式。其调用格式如下：

[R,HOW] = simple(E)

其中E为符号表达式,R为化简结果，HOW为化简方法。

3.5 通分

使用numden函数对符号表达式进行通分，调用格式如下

[N,D] = numden(E)

其中E为符号表达式，N为通分后的分子，D为通分后的分母。

例

对函数 f=xky+ypxf = \frac{x}{ky} + \frac{y}{px}f=kyx​+pxy​ 进行通分。

syms k p x yf = x / ( k * y) + y / ( p * x);[n, d] = numden(f);f1 = n / d;

输出为

f1 =

(p*x^2 + k*y^2)/(k*p*x*y)

3.6 嵌套分解

使用horner函数对符号表达式进行嵌套类型的分解，调用格式如下

horner(E)

其中E为符号表达式。

例

将 f=−ax4+bx3−cx2+x+df = -ax^4+bx^3-cx^2+x+df=−ax4+bx3−cx2+x+d 转为嵌套形式的表达式。

syms a b c d xf = -a * x^4 + b * x^3 - c * x^2 + x + d;f1 = horner(f)

输出为

f1 =

d - x*(x*(c - x*(b - a*x)) - 1)

3.7 求反函数

使用finverse函数对符号表达式进行嵌套类型的分解，调用格式如下

g = finverse(E, v)

其中E为符号表达式,v为指定的自变量，单变量为x时v可以省略。

例

求函数 f=ax+bf = ax+bf=ax+b 的反函数。

syms x y a by = a * x + b;g = finverse(y)

输出为

g =

-(b - x)/a

3.8 复合函数

使用compose函数对两个符号表达式进行复合求解，调用格式如下

compose(f, g)

当 f=f(x)f = f(x)f=f(x)以及g=g(y)g = g(y)g=g(y)时，返回复合函数f(g(y))f(g(y))f(g(y)) 。

compose(f, g, z)

当 f=f(x)f = f(x)f=f(x)以及g=g(y)g = g(y)g=g(y)时，返回复合函数f(g(z))f(g(z))f(g(z)) 。

compose(f, g, t, u ,z)

当 f=f(t)f = f(t)f=f(t)以及g=g(u)g = g(u)g=g(u)时，返回复合函数f(g(z))f(g(z))f(g(z)) 。