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一、划分二、划分示例三、划分与等价关系定理一、划分
划分 :
非空集合 AAA , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ ,
AAA 集合的一个划分是 集族 A\mathscr{A}A ,
该 集族 A\mathscr{A}A 包含于 AAA 集合的幂集 , A⊆P(A)\mathscr{A} \subseteq P(A)A⊆P(A) , 集族中的元素都属于 AAA 集合的幂集 ;
集族 A\mathscr{A}A 中的元素是 集合 , 称为 划分块 ( Block ) , 集合中的元素都是 AAA 集合中的元素 ;
该集族 A\mathscr{A}A 有以下性质 :
① A\mathscr{A}A 集族中每个元素都非空
∅∉A\varnothing \not\in \mathscr{A}∅∈A
② A\mathscr{A}A 集族中任意两个元素 ( 划分块 / 集合 ) 是不相交的
∀x,y(x,y∈A∧x≠y⇒x∩y=∅)\forall x,y ( x,y \in \mathscr{A} \land x \not= y \Rightarrow x \cap y = \varnothing )∀x,y(x,y∈A∧x=y⇒x∩y=∅)
③ A\mathscr{A}A 集族中所有的元素 ( 划分块 / 集合 ) 的并集是 AAA 集合
⋃A=A\bigcup \mathscr{A} = A⋃A=A
商集就是一个划分 , 该集族中的元素是等价类集合 ;
商集参考 :【集合论】等价类 ( 等价类概念 | 等价类示例 | 等价类性质 | 商集 | 商集示例 ) 四、商集
二、划分示例
全集是 EEE ,
取 EEE 的 nnn 个 非平凡 的 真子集 , 非平凡的含义是既不是空集 , 也不是它自己 ;
∅≠A1,A2,⋯,An⊂E\varnothing \not= A_1 , A_2, \cdots, A_n \subset E∅=A1,A2,⋯,An⊂E
1. 划分 1基于111 个元素
集族 Ai={Ai,∼Ai}\mathscr{A}_i = \{ A_i , \sim A_i \}Ai={Ai,∼Ai} , i=1,2,⋯,ni = 1, 2, \cdots , ni=1,2,⋯,n ,
Ai\mathscr{A}_iAi 集族中包含 AiA_iAi 集合及其补集 ∼Ai\sim A_i∼Ai , 该集族 Ai\mathscr{A}_iAi 满足上述划分的三个性质 , 是一个划分 ;
2. 划分 2基于222 个元素
集族 Ai={Ai∩Aj,∼Ai∩Aj,Ai∩∼Aj,∼Ai∩∼Aj}−{∅}\mathscr{A}_i = \{ A_i \cap A_j , \sim A_i \cap A_j , A_i \cap \sim A_j , \sim A_i \cap \sim A_j\} - \{ \varnothing \}Ai={Ai∩Aj,∼Ai∩Aj,Ai∩∼Aj,∼Ai∩∼Aj}−{∅} , i,j=1,2,⋯,n∧i≠ji,j = 1, 2, \cdots , n \land i \not= ji,j=1,2,⋯,n∧i=j
根据如下文氏图进行理解 :
Ai∩AjA_i \cap A_jAi∩Aj 对应区域 ①∼Ai∩Aj\sim A_i \cap A_j∼Ai∩Aj 对应区域 ③Ai∩∼AjA_i \cap \sim A_jAi∩∼Aj 对应区域 ②∼Ai∩∼Aj\sim A_i \cap \sim A_j∼Ai∩∼Aj 对应区域 ④如果 AiA_iAi 与 AjA_jAj 不相交 , 那么区域 ① 就是空集 , 划分类不能是空集 , 此时就需要减去空集 , 对应 −{∅}-\{ \varnothing \}−{∅}
3. 划分 3基于333 个元素
集族 Aijk={Ai∩Aj∩Ak,Ai∩∼Aj∩∼Ak,∼Ai∩Aj∩∼Ak,∼Ai∩∼Aj∩Ak,∼Ai∩∼Aj∩∼Ak}−{∅}\mathscr{A}_{ijk} = \{ A_i \cap A_j \cap A_k , A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k\} - \{ \varnothing \}Aijk={Ai∩Aj∩Ak,Ai∩∼Aj∩∼Ak,∼Ai∩Aj∩∼Ak,∼Ai∩∼Aj∩Ak,∼Ai∩∼Aj∩∼Ak}−{∅}
4. 划分 4基于nnn 个元素
集族
A1,2,⋯,n={A1∩A2∩⋯∩An,A1∩∼A2∩⋯∩∼An,∼A1∩A2∩⋯∩∼An,⋮∼A1∩∼A2∩⋯∩∼An}−{∅}\begin{array}{lcl} \mathscr{A}_{1,2,\cdots,n} = \{ \\\\ A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n , \\\\ A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \sim A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \vdots \\\\ \sim A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n \\\\ \} - \{ \varnothing \} \end{array}A1,2,⋯,n={A1∩A2∩⋯∩An,A1∩∼A2∩⋯∩∼An,∼A1∩A2∩⋯∩∼An,⋮∼A1∩∼A2∩⋯∩∼An}−{∅}
规则 :
A1A_1A1 到 AnA_nAn 的并集 ,
nnn 个 ∼A1\sim A_1∼A1 到 ∼An\sim A_n∼An 的并集 , 其中每个并集中 , 只有一个不是补集 ,
∼A1\sim A_1∼A1 到 ∼An\sim A_n∼An 的并集 ;
三、划分与等价关系定理
划分与等价关系定理 :
前提 :集合 AAA 非空 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅
RRR 关系是 AAA 集合上的等价关系 , 可以推导出 , AAA 集合关于 RRR 关系的商集 A/RA/RA/R 是 AAA 的划分 ;
R是A上等价关系⇒A/R是A的划分R 是 A 上等价关系 \Rightarrow A/R 是 A 的划分R是A上等价关系⇒A/R是A的划分
集族 A\mathscr{A}A 是 AAA 集合上的划分 , 定义一个 二元关系 是 同块关系 RAR_{\mathscr{A}}RA ,
该 同块关系 是 AAA 集合上的 等价关系 ,
该 同块关系 是 由划分 A\mathscr{A}A 定义的关系 ;
xRAy⇔∃z(z∈A∧x∈z∧y∈z)xR_{\mathscr{A}}y \Leftrightarrow \exist z ( z \in \mathscr{A} \land x \in z \land y \in z )xRAy⇔∃z(z∈A∧x∈z∧y∈z)
