废话不多说，直接进入正题
数学好的大佬直接看原文,此文基本照搬原文，加入了一点注解,公式比较清晰！！！！！
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复数
在我们能够完全理解四元数之前，我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。
除了知名的数集（自然数、整数、实数、分数）之外，复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程，例如：
x2+1=0
要解决这个等式，必须让x2=−1，这当然是不行的，因为任意实数的平方都是非负数。
一般而言，数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是，一个新的术语被发明了，它就是虚数，一个可以解决上面这个等式的数。
虚数有这样的形式：
i2=−1
不要为这个术语较真，因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。
虚数的集合可以用 𝕀 来表示。复数的集合ℂ 是一个实数和一个虚数的和，形式如下：
z=a+bi a,b∈R, i2=−1
可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。
复数的加减
加法：
(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i
减法：
(a1+b1i)−(a2+b2i)=(a1−a2)+(b1−b2)i
复数的系数缩放
λ(a1+b1i)=λa1+λb1i
复数的积
z1=(a1+b1i)
z2=(a2+b2i)
z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2
z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i
复数的平方
z=(a+bi)
z2=(a+bi)(a+bi)
z2=(a2−b2)+2abi
共轭复数
复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是z¯ 或 z∗
z=(a+bi)
z∗=(a−bi)
复数和它的共轭复数的乘积是：
zz∗=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi+b2=a2+b2
复数的绝对值
我们使用共轭复数来计算复数的绝对值：
z=(a+bi)
|z|=√(zz∗)=√((a+bi)(a−bi))=√(a2+b2)
两复数的商
z1=(a1+b1i)
z2=(a2+b2i)
z1z2=a1+b1ia2+b2i=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)
=a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2a22+b22
=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a1b2a22+b22i
i的幂
如果i的平方等于-1，那么i的n次幂也应该存在：
i0=1
i1=i
i2=−1
i3=ii2=−i
i4=i2i2=1
i5=ii4=i
i6=ii5=i2=−1
如果按照这个顺序写下去，会出现这样一个模式：
(1,i,-1,-i,1,…)
一个类似的模式也出现在递增的负数幂：
i0=1
i−1=−i
i−2=−1
i−3=i
i−4=1
i−5=−i
i−6=−1
你可能已经在数学里头见过类似的模式，但是是以（x,y,-x,-y,x,…)的形式，这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的；（x,-y,-x,y,x,…)则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。
复数平面
我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。
如前面的序列所示，我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。
让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：
p=2+i
p乘以i后得到q：
q=pi=(2+i)i=2i+i2=−1+2i
q乘以i后得到r：
r=qi=(−1+2i)i=−i+2i2=−2−i
r乘以i后得到s：
s=ri=(−2−i)i=−2i−i2=1−2i
s乘以i后得到t：
t=si=(1−2i)i=i−2i2=2+i
t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：
我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。
旋转数（Rotors)
我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数，改变θ角旋转任意度：
特殊的复数 旋转数公式:q=cosθ+isinθ
任意的复数乘以q：
p=a+bi
q=cosθ+isinθ
pq=(a+bi)(cosθ+isinθ)
a′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i
也可以写成矩阵的形式：
[a′b′−b′a′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][ab−ba]
这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。（译注：这句话应该是在说旋转矩阵）
四元数
了解了复数系统和复数平面后，我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统，从而把这些概念拓展到3维空间。
四元数的一般形式：
q=s+xi+yj+zk s,x,y,z∈ℝ
上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的：
i2=j2=k2=ijk=−1
以及：
ij=k jk=i ki=j
ji=−k kj=−i ik=−j
你可能已经注意到了，i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则：
x×y=z y×z=x z×x=y
y×x=−z z×y=−x x×z=−y
Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k，并且仍然保持有虚数的性质，也即i2=j2=k2=−1。
（i x j, j x k,k x i ,这几个性质的可视化）(x代表叉乘)
上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。
作为有序数的四元数
我们可以用有序对的形式，来表示四元数：
[s,v] s∈ℝ,v∈ℝ𝟛
其中的v，也可以用它各自独立的3个分量表示：
q=[s,xi+yj+zk] s,x,y,z∈ℝ
使用这种表示法，我们可以更容易地展示四元数和复数之间的相似性。
四元数的加减
和复数类似，四元数也可以被加减：
qa=[sa,a]
qb=[sb,b]
qa+qb=[sa+sb,a+b]
qa−qb=[sa−sb,a−b]
四元数的积
我们也可以表示四元数的乘积：
qaqb=[sa,a][sb,b]
=(sa+xai+yaj+zak)(sb+xbi+ybj+zbk)
=(sasb−xaxb−yayb−zazb)
+(saxb+sbxa+yazb−ybza)i
+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j
+(sazb+sbza+xayb−xbya)k
可以看到，四元数的乘积依然还是一个四元数。如果我们把虚数i、j、k
替换成有序对：
i=[0,i] j=[0,j] k=[0,k]
以及还有[1,0] = 1，将它们代入前面的表达式，就得到了：
qaqb=(sasb−xaxb−yayb−zazb)[1,0]
+(saxb+sbxa+yazb−ybza)[0,i]
+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)[0,j]
+(sazb+sbza+xayb−xbya)[0,k]
再把这个表达式扩展成多个有序对的和：
qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]
+[0,(saxb+sbxa+yazb−ybza)i]
+[0,(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j]
+[0,(sazb+sbza+xayb−xbya)k]
如果把后3个四元数相加，并提取公共部分，就可以把等式改写成：
qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]
+[0,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)
+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]
这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数，第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个：
qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),
sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)
+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]
如果把下面的表达式代入上面的等式：
a=xai+yaj+zak
b=xbi+ybj+zbk
a⋅b=xaxb+yayb+zazb
a×b=(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k
（译注：注意，第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积，而是向量的点积和叉积）
我们就得到了：
四元数的乘积一般式：qaqb=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]
这就是四元数乘积的一般式。
实四元数
一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：
q=[s,0]
两个实四元数的乘积是另一个实四元数：
qa=[sa,0]
qb=[sb,0]
qaqb=[sa,0][sb,0]=[sasb,0]
这和2个虚部为0的复数的乘积几乎一样：
z1=a1+0i
z2=a2+0i
z1z2=(a1+0i)(a2+0i)=a1a2
四元数的系数缩放
我们也可以用一个系数（实数）去乘四元数：
q=[s,v]
λq=λ[s,v]=[λs,λv]
我们可以用实四元数与普通四元数的乘积，来确认这个等式是否正确：
q=[s,v]
λ=[λ,0]
λq=[λ,0][s,v]=[λs,λv]
纯四元数
和实四元数相似，Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数：
q=[0,v]
也可以写成下面的形式：
q=xi+yk+zk
然后是2个纯四元数的乘积：
qa=[0,a]
qb=[0,b]
qaqb=[0,a][0,b]=[−a⋅b,a×b]
四元数的加法形式
我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：
q=[s,v]
=[s,0]+[0,v]
单位四元数
给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：
v=vv̂ v=|v|,|v̂|=1
将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：
q=[0,v]
=[0,vv̂]
=v[0,v̂]
然后，我们可以定义单位四元数了，它是一个s=0、v
为单位向量的四元数：
q̂=[0,v̂]
四元数的二元形式
我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：
q=[s,v]
=[s,0]+[0,v]
=[s,0]+v[0,v̂]
=s+vq̂
这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：
z=a+bi
q=s+vq̂
共轭四元数
共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：
q=[s,v]
q∗=[s,−v]
四元数和它的共轭四元数的乘积：
qq∗=[s,v][s,−v]
=[s2−v⋅(−v),−sv+sv+v×(−v)]
=[s2+v⋅v,0]
=[s2+v2,0]
四元数范数（类似向量模长，但是定义不一样）
回忆下复数范数的定义：
|z|=√(a2+b2)
zz∗=|z|2
类似的，四元数的范数可以这样定义：
q=[s,v]
|q|=√(s2+v2)
这也让我们可以这样表达四元数范数：
qq∗=|q|2
四元数规范化（类似向量归一化）
利用四元数范数的定义，就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化，只需要让这个四元数去除以它的范数：
q′=q / √(s * s+v * v)
举一个例子，让我们规范化下面这个四元数：
q=[1,4i+4j−4k]
第一步，先计算q的范数：
|q|=√(12+42+42+(−4)*(-4))
=√49=7
然后，q除以|q|:
q′=q / |q|
=(1+4i+4j−4k)7
=1/7+4/7i+4/7j−4/7k
四元数的逆
四元数的逆用q−1,因为电脑符号不方便，请仔细区分
表示。要计算四元数的逆，需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的范数的平方：
q−1=q / (|q||q|)
为了证明这个式子，我们先根据逆的定义，有：
qq−1=[1,0]=1
两边都左乘共轭四元数q∗
:
q∗qq−1=q∗
将上文中的qq∗=|q||q|
代入这个式子，得到：
|q||q|q−1=q∗
q−1=q∗|q||q|
对于单位四元数，它的范数是1，所以可以写成：
q−1=q∗
四元数的点积
和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:
q1=[s1,x1i+y1j+z1k]
q2=[s2,x2i+y2j+z2k]
四元数的点积公式:q1⋅q2=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2
我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：
cosθ=(s1s2+x1x2+y1y2+z1z2) / (|q1||q2|)
对于单位四元数，我们可以简化上面的等式：
cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2
四元数旋转
前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：
q=cosθ+isinθ
根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：
q=[cosθ,sinθv]
让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：
p=[0,p]
以及单位四元数q：
q=[s,λv̂]
从而：
p′ = qp = [s,λv̂][0,p]
代入四元数的乘积一般式：qaqb=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]
得出：p′ = [−λv̂⋅p,sp+λv̂×p]
我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。
让我们先考虑特殊的情形：p
与v̂正交。这种情况下，点乘部分等于0：−λv̂⋅p=0
。所以上面的四元数就变成了纯四元数：
p′=[0,sp+λv̂×p]
这时候，要使p
绕v̂旋转，我们只需要代入s=cosθ和λ=sinθ：
p′=[0,cosθp+sinθv̂×p]
现在，让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度，那么我们的四元数q就变成：
q=[cosθ,sinθk]
=[√2 / 2,(√2)k / 2 ]
然后，选一个特殊的p，并且p要和k轴正交，譬如把p放到i轴上，也就是：
p=[0,2i]
好了，现在计算下qp：
p′=qp
=[√2 / 2,(√2)k / 2 ] [0,2i] (此处代入四元数的乘积一般式)
=[0,(2 * (√2) / 2) * i+( 2 * (√2) /2 ) k×i] (此处*代表乘的意思，× 符号是叉乘,代入上面叉乘公式：a×b=(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k)
=[0,(√2)i+(√2)j]
结果是一个绕了k轴转了45度的纯四元数。
我们可以确认这个四元数的向量部分的长度是：
i轴: (√2) ，j轴: (√2) , k轴: 0
p′=√ ( (√2)(√2)+(√2)(√2) )=2
这正是我们所期望的！
我们可以用图像展示旋转过程：
现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：
v̂=(√2) / 2 * i+(√2) / 2 * k (此处*代表乘的意思)
p=2i
q=[cosθ,sinθv̂]
p=[0,p]
然后算qp：
p′=qp
=[cosθ,sinθv̂][0,p]
[−sinθv̂⋅p,cosθp+sinθv̂×p]
代入我们设定的v̂,p
，以及θ=45∘
，得到：
p′=[−(√2)/2 * ((√2)/2 * i+(√2)/2 * k)⋅(2i),(√2)/2 * 2 * i+ （(√2)/2(2 * √2 * i+(√2)/2 * k)） ×（2 * i）] (此处*代表乘，⋅代表点乘,×代表叉乘)
=[−1,√2 * i+j] (此处*代表乘）
注意，算出来的结果已经不是纯四元数了，并且，它并没有旋转45度、范数也不再是2(反而变小了，变成(√3)
)
我们可以用图像展示旋转过程：
严格来说，这样子在3维空间中表示p′是不正确的。因为它其实是一个4维的向量！个人认为这样标注类似于我们把三维的向量投影到二维平面上，这里是四维投影到三维上。为了简单起见，我只将这个四元数的向量部分显示出来。
然而，还有一线生机。Hamilton发现（但没有正式宣布），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。
首先计算:
q=[cosθ,sinθ((√2)/2 * i+(√2)/2 * k)] (此处*代表乘）
q−1=[cosθ,−sinθ((√2)/2 * i+(√2)/2 * k)] (此处*代表乘,-1代表逆）
(译注：这里q−1=q∗ 是因为q是单位四元数，q∗为共轭四元数)
再代入θ=45∘，得到：
q−1=[(√2)/2 ,−(√2)/2*((√2)/2 * i+ (√2)/2 * k)]
1/2 * [√2,−i−k]
现在，把前面算出来的qp再次拿出来：
qp=[−1,√2 * i+j]
qpq−1=[−1,√2 * i+j] * ((1/2) * [√ 2,−i−k]) (此处代入四元数乘积一般式。点乘，叉乘公式)
=1/2 * [−√2+ √ 2, i+k+2 * i+√2 * j−i+√2 * j+k]
=[0,i+√2 * j+k]
这下是纯四元数了，并且它的范数是：
i轴: 1，j轴: (√2) , k轴: 1
|qpq−1|=√(1+√2 * √2 + 1)=√4=2
这和原始的p的范数一致。
下面的图像展示了旋转结果：
所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：
q=[cos((1/2) * θ),sin((1/2) * θ v̂)]
这就是旋转四元数的一般形式！
欧拉角转四元数：
设欧拉角 euler = (pitch,roll,yaw);
欧拉旋转顺序为 Z - X - Y
则每个轴转成四元数为：
qx = [cos(pitch/2),sin(pitch/2)i]
qy = [cos(roll /2),sin(roll/2)j]
qz = [cos(yaw /2),sin(yaw/2)k]
最后相乘得出结果
q = [cos(yaw /2),sin(yaw/2)k] [cos(pitch/2),sin(pitch/2)i] [cos(roll /2),sin(roll/2)j]
轴角转换四元数：
四元数还可以直观用轴角表示[x,y,z,theta]
xyz代表旋转轴v，theta代表旋转角
则
v = (x,y,z)
q = cos(theta/2) + sin(theta/2)v
总结
四元数相比欧拉角，可以避免万向节死锁问题，其次在游戏和很多硬件等营养方面有很广泛的使用，这篇文章是我从网上看到的，本来是修复网上盲目搬运文章公式的很多错误，但是后来找到了原作者并征得同意，原作者的文章没有错误，并且有四元数线性插值部分内容，此文加上部分个人当初思考中遇到的问题和难点，原文公式比较好理解。
