正态分布、正态分布采样及Python实现
多元正态分布(多元高斯分布)协方差矩阵协方差分解变量的线性变换(正态分布采样原理)python实现参考文献多元正态分布(多元高斯分布)
直接从多元正态分布讲起。多元正态分布公式如下：
Pr=1(2π)D/2∣∑∣1/2exp(−0.5(x−μ)T∑−1(x−μ)))P_r = \frac{1}{(2\pi )^{D/2}\left | \sum \right |^{1/2}}exp(-0.5(x-\mu)^T{\sum} ^{-1}(x-\mu)))Pr=(2π)D/2∣∑∣1/21exp(−0.5(x−μ)T∑−1(x−μ)))
其中μ\muμ代表每个维度上的均值，是一个D×1D\times 1D×1维的向量，而∑\sum∑代表协方差矩阵，是一个D×DD\times DD×D正定矩阵。上述公式可简写为：Pr(x)=Normx[μ,∑]P_r(x)=Norm_x[\mu,\sum]Pr(x)=Normx[μ,∑]这就是多元正态分布的定义，均值好理解，就是高斯分布的概率分布值最大的位置，进行采样时也就是采样的中心点。而协方差矩阵在多维上形式较多。
协方差矩阵
一般来说，协方差矩阵有三种形式，分别称为球形、对角和全协方差。以二元为例：
∑spher=(σ200σ2){\sum}_{spher}=\begin{pmatrix} \sigma ^2 & 0\\ 0 & \sigma ^2 \end{pmatrix}∑spher=(σ200σ2) ∑diag=(σ1200σ22){\sum}_{diag}=\begin{pmatrix} \sigma_1 ^2 & 0\\ 0 & \sigma_2 ^2 \end{pmatrix}∑diag=(σ1200σ22) ∑full=(σ112σ122σ212σ222){\sum}_{full}=\begin{pmatrix} \sigma_{11} ^2 & \sigma_{12} ^2\\ \sigma_{21} ^2 & \sigma_{22} ^2 \end{pmatrix}∑full=(σ112σ212σ122σ222)
对于N元正态分布有：∑=(cov(X1,X1)cov(X1,X2)⋯cov(X1,Xn)cov(X2,X1)cov(X2,X2)⋯cov(X2,Xn)⋮⋮⋮⋮cov(Xn,X1)cov(Xn,X2)⋯cov(Xn,Xn)){\sum}=\begin{pmatrix} cov(X_1,X_1) & cov(X_1,X_2) & \cdots & cov(X1,X_n)\\ cov(X_2,X_1) & cov(X_2,X_2) & \cdots & cov(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ cov(X_n,X_1) & cov(X_n,X_2) & \cdots & cov(X_n,X_n) \end{pmatrix}∑=⎝⎜⎜⎜⎛cov(X1,X1)cov(X2,X1)⋮cov(Xn,X1)cov(X1,X2)cov(X2,X2)⋮cov(Xn,X2)⋯⋯⋮⋯cov(X1,Xn)cov(X2,Xn)⋮cov(Xn,Xn)⎠⎟⎟⎟⎞
为了方便展示不同协方差矩阵的效果，我们以二维为例。(书上截的图，凑活着看吧，是在不想画图了)
其实从这个图上可以很好的看出，协方差矩阵对正态分布的影响，也就很好明白了这三个协方差矩阵是哪里来的名字了。可以看出，球形协方差矩阵，会产生圆形(二维)或者球形(三维)的等高线，对角协方差矩阵和全协方差矩阵，会产生椭圆形的等高线。更一般地，在一个D维空间中，球形协方差矩阵，会产生一个D维球面等高线；对角协方差矩阵，会产生一个坐标轴对其的椭球型等高线；全协方差矩阵，会在任意位置产生一个坐标轴对其的椭球型等高线。
当协方差矩阵是球形的或者是对角的，单独的变量之间是独立的
协方差分解
时间不足，具体解释以后再补
下面是协方差分解的原理图
变量的线性变换(正态分布采样原理)
多元正态的形式在线性变换y=Ax+by=Ax+by=Ax+b下保持不变，例如下图：
假设原始分布是Pr(x)=Normx[μ,∑]P_r(x)=Norm_x[\mu,\sum]Pr(x)=Normx[μ,∑]
那么经过y=Ax+by=Ax+by=Ax+b变换后，变量y的分布为：Pr(y)=Normy[Aμ+b,A∑AT]P_r(y)=Norm_y[A\mu+b,A\sum A^T]Pr(y)=Normy[Aμ+b,A∑AT]
这个关系提供了从均值为μ\muμ、协方差为∑\sum∑的正态分布抽取样本的简单方法。首先从单位正态分布中，抽取样本xxx，然后应用y=∑1/2x+μy={\sum}^{1/2}x+\muy=∑1/2x+μ进行变换
python实现
多元正态分布在python的numpy库中有很方便一个函数：
np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=N)
这个函数中，mean代表均值，是在每个维度中的均值。cov代表协方差矩阵，就像上面讲的那种形式，协方差矩阵值的大小将决定采样范围的大小。size代表需要采样生成的点数，此时输出大小为（N*D）的坐标矩阵。
另外，其他参数包括：check_valid，这个参数用于决定当cov即协方差矩阵不是半正定矩阵时程序的处理方式，它一共有三个值：warn，raise以及ignore。当使用warn作为传入的参数时，如果cov不是半正定的程序会输出警告但仍旧会得到结果；当使用raise作为传入的参数时，如果cov不是半正定的程序会报错且不会计算出结果；当使用ignore时忽略这个问题即无论cov是否为半正定的都会计算出结果
tol：检查协方差矩阵奇异值时的公差，float类型。
下面是一个小demo
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmean = np.array([2,1]) # 均值conv = np.array([[0.5, 0.0], # 协方差矩阵[0.0, 0.5]])axis = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=200)x, y = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=1000).T# print(axis[:])plt.plot(axis[:, 0], axis[:, 1], 'ro')plt.show()plt.plot(x, y, 'ro')plt.show()
注意，单独取出每个坐标轴的坐标数组时，需要在最后加上.T，否则会报错效果展示：
协方差值的大小对采样的影响：
mean = np.array([2,1]) # 均值conv = np.array([[0.5, 0.0], # 协方差矩阵[0.0, 0.5]])conv2 = np.array([[10, 0.0], # 协方差矩阵[0.0, 10]])axis = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=200)x, y = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv2, size=200).T# print(axis[:])plt.plot(axis[:, 0], axis[:, 1], 'ro')plt.show()plt.plot(x, y, 'ro')plt.show()
效果如下：
这里没有设定随机种子店，每次随机数会有所不同。
参考文献
《 计算机视觉模型、学习和推理》
