PT_基本概率公式(减法/加法/乘法/除法(条件概率)/全概率/贝叶斯)

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ref概率公理条件概率和样本空间五大公式🎈减法公式🎈加法公式🎈减法公式案例🎈除法公式(条件概率)条件概率的性质小结:例1例2🎈乘法公式例🎈全概率公式TP完备事件组全概率公式例🎈贝叶斯公式BPBayes公式和条件概率公式的联系和比较例1例2

ref

PT_概率论基本概念和事件运算性质_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客

概率公理

概率函数p(检查概率p) 概率函数满足三个条件: 任意事件A:P(A)⩾0任意事件A:P(A)\geqslant 0任意事件A:P(A)⩾0必然事件Ω:P(Ω)=1必然事件\Omega:P(\Omega)=1必然事件Ω:P(Ω)=1互斥事件Ai之间:P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)互斥事件A_i之间:P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)互斥事件Ai​之间:P(i=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​P(Ai​) 互斥事件概率(值)之和等于和事件(A=⋃i=1nAiA=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_iA=i=1⋃n​Ai​)的概率(值)例如:投色子: 记A1为1点数A_1为1点数A1​为1点数记A2为2点数记A_2为2点数记A2​为2点数A=A1∪A2表示投出1点或者2点;A=A_1\cup A_2表示投出1点或者2点;A=A1​∪A2​表示投出1点或者2点;并且,A1∩A2=∅并且,A_1\cap A_2=\varnothing并且,A1​∩A2​=∅P(A)=P(A1)+P(A2)P(A)=P(A_1)+P(A_2)P(A)=P(A1​)+P(A2​) 上述三条分别称为概率(函数的): 非负性规范性可列可加性 可以借助频率估计概率来证明

条件概率和样本空间

条件概率可以理解为,某个条件事件A发生的基础之上,再发生事件B的概率

五大公式

首先有减法公式和加法公式

🎈减法公式

P(B−A)=P(B)−P(A);(使用要求(前提):A⊂B或者AB=A,两个条件等价)P(B-A)=P(B)-P(A);(使用要求(前提):A\sub B或者AB=A,两个条件等价)P(B−A)=P(B)−P(A);(使用要求(前提):A⊂B或者AB=A,两个条件等价)

更一般的:(下这个形式会更加通用)

P(B−A)=P(B−AB)=P(B)−P(BA);(∀A,B)P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(BA);(\forall A,B)P(B−A)=P(B−AB)=P(B)−P(BA);(∀A,B) B−A=B−BA;P(B−A)=P(B−BA)B-A=B-BA;P(B-A)=P(B-BA)B−A=B−BA;P(B−A)=P(B−BA)而BA⊂BBA\sub BBA⊂B对于任意的A,B总是成立的如果还有A⊂B,那么P(BA)=P(A)⇒P(B−A)=P(B)−P(BA)=P(B)−P(A)如果还有A\sub B,那么P(BA)=P(A)\Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(BA)=P(B)-P(A)如果还有A⊂B,那么P(BA)=P(A)⇒P(B−A)=P(B)−P(BA)=P(B)−P(A)

设A⊂B设A\sub B设A⊂B

B=A∪B;AB=AB=A\cup B;AB=AB=A∪B;AB=AB=A∪(B−A)B=A\cup (B-A)B=A∪(B−A)B−A=B−ABB-A=B-ABB−A=B−ABA(B−A)=∅;A(B−AB)=∅A(B-A)=\varnothing;A(B-AB)=\varnothingA(B−A)=∅;A(B−AB)=∅P(B)=P(A∪(B−A))=P(A)+P(B−A)P(B)=P(A\cup (B-A))=P(A)+P(B-A)P(B)=P(A∪(B−A))=P(A)+P(B−A) 或者:P(B)=P(A∪(B−AB))=P(A)+P(B−AB)P(B)=P(A\cup (B-AB))=P(A)+P(B-AB)P(B)=P(A∪(B−AB))=P(A)+P(B−AB) 从而(移项):P(B−A)=P(B)−P(A),该公式对于A⊂B的条件下成立P(B-A)=P(B)-P(A),该公式对于A\sub B的条件下成立P(B−A)=P(B)−P(A),该公式对于A⊂B的条件下成立 由于BA⊂B由于BA\sub B由于BA⊂B,可以记C=BA,那么C⊂BC\sub BC⊂B; 所以可以令A取C,得到:P(B−C)=P(B)−P(C);⇒P(B−BA)=P(B)−P(BA)P(B-C)=P(B)-P(C);\Rightarrow P(B-BA)=P(B)-P(BA)P(B−C)=P(B)−P(C);⇒P(B−BA)=P(B)−P(BA)又因为B−BA=B−A又因为B-BA=B-A又因为B−BA=B−A从而P(B−A)=P(B)−P(BA)从而P(B-A)=P(B)-P(BA)从而P(B−A)=P(B)−P(BA) 实时上,可以直接由公式:AB=A(前提),得到P(AB)=P(A)实时上,可以直接由公式:AB=A(前提),得到P(AB)=P(A)实时上,可以直接由公式:AB=A(前提),得到P(AB)=P(A)

小结:

P(B−A)=P(B)−P(A);(condition:A⊂B或AB=A;否则不满足规范性)P(B-A)=P(B)-P(A);\\(condition:A\sub B或AB=A;否则不满足规范性) P(B−A)=P(B)−P(A);(condition:A⊂B或AB=A;否则不满足规范性)

P(B−A)=P(B)−P(BA)P(B-A)=P(B)-P(BA) P(B−A)=P(B)−P(BA)

而:P(B−AB)=P(B)−P(BA);(∀A,B)而:P(B-AB)=P(B)-P(BA);(\forall A,B) 而:P(B−AB)=P(B)−P(BA);(∀A,B)

这两组公式有微妙的区别 B−AB=B−A;(∀A,B)B-AB=B-A;(\forall A,B)B−AB=B−A;(∀A,B) 这是从试验的样本空间(样本点集合的层面上的规律描述的)这是从试验的样本空间(样本点集合的层面上的规律描述的)这是从试验的样本空间(样本点集合的层面上的规律描述的) P(B−A)=P(B)−P(A)就必须满足A⊂BP(B-A)=P(B)-P(A)就必须满足A\sub BP(B−A)=P(B)−P(A)就必须满足A⊂B但是我们知道设C=BA,则C⊂B但是我们知道设C=BA,则C\sub B但是我们知道设C=BA,则C⊂B P(B−BA)=P(B)−P(BA);(∀A,B)P(B-BA)=P(B)-P(BA);(\forall A,B)P(B−BA)=P(B)−P(BA);(∀A,B)因为,概率函数P的参数是集合,相等价的集合X=Y总是得到相同的概率函数值P(X)=P(Y),恰好,B−BA=B−A总是成立的(∀A,B)P(X)=P(Y),恰好,B-BA=B-A总是成立的(\forall A,B)P(X)=P(Y),恰好,B−BA=B−A总是成立的(∀A,B)所以P(B−A)=P(B−BA)P(B-A)=P(B-BA)P(B−A)=P(B−BA)

🎈加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB);(∀A,B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB);(\forall A,B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB);(∀A,B)

推导:

由前面概率函数的第三条我们知道,如果AiAj=∅,那么P(Ai∪Aj)=P(Ai)+P(Aj)由前面概率函数的第三条我们知道,如果A_iA_j=\varnothing,那么P(A_i\cup A_j)=P(A_i)+P(A_j)由前面概率函数的第三条我们知道,如果Ai​Aj​=∅,那么P(Ai​∪Aj​)=P(Ai​)+P(Aj​)

但是如果AiAj≠∅时,P(Ai∪Aj)=?但是如果A_iA_j\neq\varnothing时,P(A_i\cup A_j)=?但是如果Ai​Aj​=∅时,P(Ai​∪Aj​)=?

由于B−A=B−AB;由于B-A=B-AB;由于B−A=B−AB;

A∪(BA‾)=(A∪B)(A∪A‾)=A∪BA\cup (B\overline{A})=(A\cup B)(A\cup \overline{A})=A\cup BA∪(BA)=(A∪B)(A∪A)=A∪B 同时,A(B−BA)=A(B−A)=∅(这对于任意A,B都成立)同时,A(B-BA)=A(B-A)=\varnothing(这对于任意A,B都成立)同时,A(B−BA)=A(B−A)=∅(这对于任意A,B都成立)因此P(A∪B)=P(A∪(B−AB))=P(A)+P(B−AB)=P(A)+(P(B)−P(AB))因此P(A\cup B)=P(A\cup (B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+(P(B)-P(AB))因此P(A∪B)=P(A∪(B−AB))=P(A)+P(B−AB)=P(A)+(P(B)−P(AB)) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

理论上,可以反复(嵌套)使用基本的加法公式,得到包含更多事件的加法公式

例如,y=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A1A3)−P(A2A3)+P(A1A2A3)例如,y=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3)例如,y=P(A1​∪A2​∪A3​)=P(A1​)+P(A2​)+P(A3​)−P(A1​A2​)−P(A1​A3​)−P(A2​A3​)+P(A1​A2​A3​)

记D=A1∪A2记D=A_1\cup A_2记D=A1​∪A2​

y=P(D∪A3)=P(D)+P(A3)−P(DA3)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)+P(A3)−P((A1∪A2)A3)=∑i=13P(Ai)−P(A1A2)−P((A1A3)∪(A2A3))其中P(A1A3)+P(A2A3)−P(A1A3A2A3);P(A1A3A2A3)=P(A1A2A3)y=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A2A3)−P(A1A3)+P(A1A2A3)紧凑一点写:y=∑i=13P(Ai)−∑i=13P(∏j=1j≠i3Ai)+P(∏i=13Ai)y=P(D\cup A_3)=P(D)+P(A_3)-P(DA_3) \\=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1A_2)+P(A_3)-P((A_1\cup A_2) A_3) \\=\sum\limits_{i=1}^{3}P(A_i)-P(A_1A_2)-P((A_1A_3)\cup (A_2A_3)) \\其中P(A_1A_3)+P(A_2A_3)-P(A_1A_3A_2A_3); \\P(A_1A_3A_2A_3)=P(A_1A_2A_3) \\y=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_2A_3)-P(A_1A_3)+P(A_1A_2A_3) \\紧凑一点写: \\y=\sum\limits_{i=1}^{3}P(A_i)-\sum\limits_{i=1}^{3} P\left( \prod_{\begin{aligned}{j=1}\\j\neq i\end{aligned}}^{3} A_i \right) +P(\prod_{i=1}^{3}A_i) y=P(D∪A3​)=P(D)+P(A3​)−P(DA3​)=P(A1​)+P(A2​)−P(A1​A2​)+P(A3​)−P((A1​∪A2​)A3​)=i=1∑3​P(Ai​)−P(A1​A2​)−P((A1​A3​)∪(A2​A3​))其中P(A1​A3​)+P(A2​A3​)−P(A1​A3​A2​A3​);P(A1​A3​A2​A3​)=P(A1​A2​A3​)y=P(A1​)+P(A2​)+P(A3​)−P(A1​A2​)−P(A2​A3​)−P(A1​A3​)+P(A1​A2​A3​)紧凑一点写:y=i=1∑3​P(Ai​)−i=1∑3​P⎝⎛​j=1j=i​∏3​Ai​⎠⎞​+P(i=1∏3​Ai​)

🎈减法公式案例

P(A)=13,P(B)=12P(A)=\frac{1}{3},P(B)=\frac{1}{2}P(A)=31​,P(B)=21​ 求不同条件下的P(B−A)求不同条件下的P(B-A)求不同条件下的P(B−A) AB=∅AB=\varnothingAB=∅ P(B−A)=P(B−AB)=P(B)=12P(B-A)=P(B-AB)=P(B)=\frac{1}{2}P(B−A)=P(B−AB)=P(B)=21​ A⊂BA\sub BA⊂B P(B−A)=P(B−A)=P(B)−P(A)=12−13=16P(B-A)=P(B-A)=P(B)-P(A)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}P(B−A)=P(B−A)=P(B)−P(A)=21​−31​=61​ P(AB)=18P(AB)=\frac{1}{8}P(AB)=81​ P(B−A)=P(B−BA)=P(B)−P(BA)=12−18=38P(B-A)=P(B-BA)=P(B)-P(BA)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}P(B−A)=P(B−BA)=P(B)−P(BA)=21​−81​=83​

🎈除法公式(条件概率)

CP:conditional probability

条件概率的基本观点是某些已获得的信息(某些事情的发生)改变了原本的样本空间条件概率也是概率(概率函数),不违背三条概率公理

在事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为B对A的条件概率

CP(B,A)=P(B∣A)=P(AB)P(A)CP(B,A)=P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}CP(B,A)=P(B∣A)=P(A)P(AB)​

从直观上解释,就是样本空间Ω\OmegaΩ对应到事件A发生时,已经被收缩到ΩA\Omega_AΩA​

然而,根据具体的情况,某些已知发生事件A并不会导致Ω\OmegaΩ在收缩过程中变小(收缩量为0) 例如,含有20个球的箱子 记Ai={含有残次品数量为i个}记A_i=\set{含有残次品数量为i个}记Ai​={含有残次品数量为i个}记B=抽种的产品都是正品记B={抽种的产品都是正品}记B=抽种的产品都是正品假设已知箱子中有1个残次品,那么从中抽取出4件全是正品的可概率?P(B∣A1)=(194)(204)P(B|A_1)=\frac{\binom{19}{4}}{\binom{20}{4}}P(B∣A1​)=(420​)(419​)​ 其中ΩA1=Ω\Omega_{A_1}=\OmegaΩA1​​=Ω

事件AB则一定是落在ΩA\Omega_AΩA​中

因此计算公式为P(B∣A)=N(ΩAB)N(ΩA)因此计算公式为P(B|A)=\frac{N(\Omega_{AB})}{N(\Omega_A)}因此计算公式为P(B∣A)=N(ΩA​)N(ΩAB​)​

如果我们同时为RHS分子分母同乘以一个N(1Ω)N(\frac{1}{\Omega})N(Ω1​)N(x)表示x中包含的样本电数量N(x)表示x中包含的样本电数量N(x)表示x中包含的样本电数量则:P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)​

条件概率的性质

记事件C=B∣A,事件C表示的是:记事件C=B|A,事件C表示的是:记事件C=B∣A,事件C表示的是: 事件B在事件A已经发生的基础上发生事件B在事件A已经发生的基础上发生事件B在事件A已经发生的基础上发生或:事件A已经发生的基础上又发生B事件A已经发生的基础上又发生B事件A已经发生的基础上又发生B 记事件C‾=B‾∣A表示事件A发生的情况下,事件B不发生\overline{C}=\overline{B}|{A}表示事件A发生的情况下,事件B不发生C=B∣A表示事件A发生的情况下,事件B不发生 如果说样本点c∈C,那么c的发生必然导致A的发生,B不发生(或者说导致B的对立事件B‾也一定发生)c\in C,那么c的发生必然导致A的发生,B不发生(或者说导致B的对立事件\overline{B}也一定发生)c∈C,那么c的发生必然导致A的发生,B不发生(或者说导致B的对立事件B也一定发生)P(C‾)=1−P(C)P(\overline{C})=1-P(C)P(C)=1−P(C)P(B‾∣A)=1−P(B∣A)P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)P(B∣A)=1−P(B∣A) 类似的,从样本空间收缩的角度理解,有: P(B1∪B2∣A)=P(B1∣A)+P(B2∣A)−P(B1B2∣A)P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1B_2|A)P(B1​∪B2​∣A)=P(B1​∣A)+P(B2​∣A)−P(B1​B2​∣A)

小结:

P(B∣A)=N(ΩAB)N(ΩA)P(B|A)=\frac{N(\Omega_{AB})}{N(\Omega_A)}P(B∣A)=N(ΩA​)N(ΩAB​)​P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)​ 可以用未缩小样本空间(原样本空间的概率直接计算)特别的,当B⊂A,P(AB)=P(B)P(A)B\sub A,P(AB)=\frac{P(B)}{P(A)}B⊂A,P(AB)=P(A)P(B)​ 在实际问题中,条件概率公式的两种形式都有应用 有时,问题中的条件概率是直接给出的

例1

取产品(球)问题: 现有3个一等品,2个二等品现在做不放回抽样,每次抽一件记A={第一次取得一等品} B={第二次取得二等品} 计算P(B|A)=?方式1: 从样本空间的缩减角度(利用第一种形式来计算) A发生后,在从剩余的球中抽取一件的样本空间:Ω→ΩA\Omega\to \Omega_AΩ→ΩA​,N(ΩA)=4N(\Omega_A)=4N(ΩA​)=4 此时事件B的样本点集合元素数:N(ΩAB)=2N(\Omega_{AB})=2N(ΩAB​)=2 P(B∣A)=ΩABΩA=12P(B|A)=\frac{\Omega_{AB}}{\Omega_A}=\frac{1}{2}P(B∣A)=ΩA​ΩAB​​=21​ 方式2: P(A)=35P(A)=\frac{3}{5}P(A)=53​P(AB)=3×25×4=310P(AB)=\frac{3\times 2}{5\times4}=\frac{3}{10}P(AB)=5×43×2​=103​P(B∣A)=P(AB)P(A)=12P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{2}P(B∣A)=P(A)P(AB)​=21​

例2

某商品每天销售达到10件的概率为0.8;12件的概率为0.56 如果当天已经销售了10件,那么能销售到12件的概率?记A={销售10件}B={销售12件}则:P(A)=0.8;P(B)=0.56P(A)=0.8;P(B)=0.56P(A)=0.8;P(B)=0.56 且:B⊂A,AB=BB\sub A,AB=BB⊂A,AB=B P(B∣A)=P(BA)P(A)=P(B)P(A)=0.7P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=0.7P(B∣A)=P(A)P(BA)​=P(A)P(B)​=0.7

🎈乘法公式

从条件概率公式变形即可得到:

P(Eve⋅condEve)=P(Eve∣condEve)P(condEve)P(Eve\cdot condEve)=P(Eve|condEve)P(condEve)P(Eve⋅condEve)=P(Eve∣condEve)P(condEve)

乘法:积事件的条件概率乘法展开公式计算公式

P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B∣A)P(A)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B∣A)P(A)

通常习惯将条件概率写在前面在实际应用中,An相对于An−1是较晚发生的A_n相对于A_{n-1}是较晚发生的An​相对于An−1​是较晚发生的

更一般的,如果反复套用上述公式,我们可以得到:

下面得到公式看起来复杂,其实用起来是很自然

P(∏i=1nAi)=P((∏i=1n−1Ai)An)=P(An∣∏i=1n−1Ai)P(∏i=1n−1Ai)设通项Pk=P(∏i=1kAi)=P((∏i=1k−1Ai)Ak)=P(Ak∣∏i=1k−1Ai)P(∏i=1k−1Ai)T(k)=∏i=1kAik=n,n−1,n−2,⋯,1Pk=P(T(k))=P(T(k−1))P(Ak∣T(k−1))⋮P(\prod_{i=1}^{n}A_i)=P((\prod_{i=1}^{n-1}A_i)A_n) =P(A_n|\prod_{i=1}^{n-1}A_i)P(\prod_{i=1}^{n-1}A_i) \\ 设通项P_k= P(\prod_{i=1}^{k}A_i)=P((\prod_{i=1}^{k-1}A_i)A_k) =P(A_k|\prod_{i=1}^{k-1}A_i)P(\prod_{i=1}^{k-1}A_i) \\T(k)=\prod_{i=1}^{k}A_i \\k=n,n-1,n-2,\cdots,1 \\P_k=P(T(k))=P(T(k-1))P(A_k|T(k-1)) \\\vdots P(i=1∏n​Ai​)=P((i=1∏n−1​Ai​)An​)=P(An​∣i=1∏n−1​Ai​)P(i=1∏n−1​Ai​)设通项Pk​=P(i=1∏k​Ai​)=P((i=1∏k−1​Ai​)Ak​)=P(Ak​∣i=1∏k−1​Ai​)P(i=1∏k−1​Ai​)T(k)=i=1∏k​Ai​k=n,n−1,n−2,⋯,1Pk​=P(T(k))=P(T(k−1))P(Ak​∣T(k−1))⋮

特别的:P2=P(A1A2)=P(A2∣A1)P(A1)P3=P(A1A2A3)=P(A3∣A1A2)P(A1A2)=P(A3∣A1A2)P(A2∣A1)P(A1)类似的:P4=P(A1A2A3A4)=P(A4∣A1A2A3)P(A3∣A1A2)P(A2∣A1)P(A1)\\特别的:P_2=P(A_1A_2)=P(A_2|A_1)P(A_1) \\P_3=P(A_1A_2A_3)=P(A_3|A_1A_2)P(A_1A_2) \\=P(A_3|A_1A_2)P(A_2|A_1)P(A_1) \\类似的: \\P_4=P(A_1A_2A_3A_4)=P(A_4|A_1A_2A_3)P(A_3|A_1A_2)P(A_2|A_1)P(A_1) 特别的:P2​=P(A1​A2​)=P(A2​∣A1​)P(A1​)P3​=P(A1​A2​A3​)=P(A3​∣A1​A2​)P(A1​A2​)=P(A3​∣A1​A2​)P(A2​∣A1​)P(A1​)类似的:P4​=P(A1​A2​A3​A4​)=P(A4​∣A1​A2​A3​)P(A3​∣A1​A2​)P(A2​∣A1​)P(A1​)

通常,公式右边的条件概率都是比较容易计算的

通常利用条件概率的样本收缩来得出各个条件概率因子否则可能要考虑其他的计算积事件的方法

例

多次摸多颜色球问题

设有5红,3黑,2白

问,第三次才摸到白球的概率

即,前两次的摸球结果都不是白色的

为了方便讨论问题,记:Ai=第i次摸出白球;i=1,2,3A_i={第i次摸出白球};i=1,2,3Ai​=第i次摸出白球;i=1,2,3

P=P(A1‾A2‾A3)=P(A3∣A1‾A2‾)P(A2‾∣A1‾)P(A1‾)=210−28−110−1810=2879810=745P=P(\overline{A_1}\ \overline{A_2}A_3) =P(A_3|\overline{A_1}\ \overline{A_2}) P(\overline{A_2}|\overline{A_1})P(\overline{A_1}) \\=\frac{2}{10-2}\frac{8-1}{10-1}\frac{8}{10} =\frac{2}{8}\frac{7}{9}\frac{8}{10} =\frac{7}{45} P=P(A1​​A2​​A3​)=P(A3​∣A1​​A2​​)P(A2​​∣A1​​)P(A1​​)=10−22​10−18−1​108​=82​97​108​=457​

实时上,稍微熟练点的高中生,就可以直接写出p=2879810p=\frac{2}{8}\frac{7}{9}\frac{8}{10}p=82​97​108​

🎈全概率公式TP

原因推结果TP:total probability

完备事件组

称满足条件的{Bi},i=1,⋯,n\set{B_i},i=1,\cdots,n{Bi​},i=1,⋯,n为一个**完备事件组**

⋃i=1nBi=Ω\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega⋃i=1n​Bi​=ΩBiBj=∅;i≠jB_iB_j=\varnothing;i\neq jBi​Bj​=∅;i=j

离散数学中,也称为**划分**

{Bi∣i∈I}对样本空间Ω的一个划分\set{B_i|i\in I}对样本空间\Omega的一个划分{Bi​∣i∈I}对样本空间Ω的一个划分 其中,I={1,2,⋯n}I=\set{1,2,\cdots n}I={1,2,⋯n} 任意一个样本点(任意一次试验结果)都属于且仅属于某一个BiB_iBi​

全概率公式

如果{Bi∣i∈I}是一个S的划分,P(Bi)>0如果\set{B_i|i\in I}是一个S的划分,P(B_i)>0如果{Bi​∣i∈I}是一个S的划分,P(Bi​)>0 那么TP=P(A)=∑i∈IP(A∣Bi)P(Bi)那么TP=P(A)=\sum\limits_{i\in I}P(A|B_i)P(B_i)那么TP=P(A)=i∈I∑​P(A∣Bi​)P(Bi​)

证明:

P(A∣Bi)P(Bi)=P(ABi)ABi⊂BiBiBj=∅(ABi)(ABj)=∅P((ABi)(ABj))=0P(ABi)+P(ABj)=P(ABi)+P(ABj)−P((ABi)(ABj))=P(ABi∪ABj)=P(A(Bi∪Bj))∑i∈IP(A∣Bi)P(Bi)=∑i∈IP(ABi)=P(A∩(⋃i∈IBi))=P(AΩ)=P(A)P(A|B_i)P(B_i)=P(AB_i) \\AB_i\sub B_i \\B_iB_j=\varnothing \\(AB_i)(AB_j)=\varnothing \\ \\P((AB_i)(AB_j))=0 \\P(AB_i)+P(AB_j)=P(AB_i)+P(AB_j)-P((AB_i)(AB_j)) \\=P(AB_i\cup AB_j) \\=P(A(B_i\cup B_j)) \\ \\\sum\limits_{i\in I}P(A|B_i)P(B_i)=\sum\limits_{i\in I}P(AB_i) =P\left(A\cap\left(\bigcup\limits_{i\in I}B_i\right)\right) \\=P(A\Omega) \\=P(A) P(A∣Bi​)P(Bi​)=P(ABi​)ABi​⊂Bi​Bi​Bj​=∅(ABi​)(ABj​)=∅P((ABi​)(ABj​))=0P(ABi​)+P(ABj​)=P(ABi​)+P(ABj​)−P((ABi​)(ABj​))=P(ABi​∪ABj​)=P(A(Bi​∪Bj​))i∈I∑​P(A∣Bi​)P(Bi​)=i∈I∑​P(ABi​)=P(A∩(i∈I⋃​Bi​))=P(AΩ)=P(A)

例

例如,含有20个球的箱子

含有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1

记Ai={含有残次品数量为i个}记A_i=\set{含有残次品数量为i个}记Ai​={含有残次品数量为i个}

P(A0)=0.8P(A_0)=0.8P(A0​)=0.8P(A1)=P(A2)=0.1P(A_1)=P(A_2)=0.1P(A1​)=P(A2​)=0.1

记B={抽种的产品都是正品}记B=\set{抽种的产品都是正品}记B={抽种的产品都是正品}

那么从中抽取出4件全是正品的可概率?

P(B∣A0)=(204)(204)=1P(B|A_0)=\frac{\binom{20}{4}}{\binom{20}{4}}=1P(B∣A0​)=(420​)(420​)​=1

P(B∣A1)=(194)(204)=(19∗18∗17∗16)∗(4∗3∗2∗1)(20∗19∗18∗17)∗(4∗3∗2∗1)=45P(B|A_1)=\frac{\binom{19}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{(19*18*17*16)*(4*3*2*1)}{(20*19*18*17)*(4*3*2*1)}=\frac{4}{5}P(B∣A1​)=(420​)(419​)​=(20∗19∗18∗17)∗(4∗3∗2∗1)(19∗18∗17∗16)∗(4∗3∗2∗1)​=54​

其中ΩA1=Ω\Omega_{A_1}=\OmegaΩA1​​=Ω

P(B∣A2)=(184)(204)=1219P(B|A_2)=\frac{\binom{18}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{12}{19}P(B∣A2​)=(420​)(418​)​=1912​

根据全概率公式P(B)=∑i=13P(B∣Ai)P(Ai)=0.943根据全概率公式P(B)=\sum\limits_{i=1}^{3}P(B|A_i)P(A_i)=0.943根据全概率公式P(B)=i=1∑3​P(B∣Ai​)P(Ai​)=0.943

🎈贝叶斯公式BP

结果推原因BP:Bayes Probability BP=MPTPBP=\frac{MP}{TP}BP=TPMP​

Bayes公式和条件概率公式的联系和比较

贝叶斯公式的左边形式和条件概率公式CP是类似的🎈

但是,贝叶斯公式是结果推**原因(条件)**的它们在含义上有所不同

根据:

对于样本点空间Ω的一个划分{Bi∣i∈I}对于样本点空间\Omega的一个划分\set{B_i|i\in I}对于样本点空间Ω的一个划分{Bi​∣i∈I} 全概率公式TP P(A)=∑i∈IP(A∣Bi)P(Bi)P(A)=\sum\limits_{i\in I}P(A|B_i)P(B_i)P(A)=i∈I∑​P(A∣Bi​)P(Bi​) 条件概率公式CP P(Bi∣A)=P(BiA)P(A)P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}P(Bi​∣A)=P(A)P(Bi​A)​ 乘法公式MP:P(BiA)=P(Bi∣A)P(A)乘法公式MP:P(B_iA)=P(B_i|A)P(A)乘法公式MP:P(Bi​A)=P(Bi​∣A)P(A)

容易推导出BP

P(Bi∣A)=P(BiA)P(A)=P(Bi∣A)P(A)∑i∈IP(A∣Bi)P(Bi)=MP(Bi∣A)TP(Bi∣A)P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)} =\frac{P(B_i|A)P(A)}{\sum\limits_{i\in I}P(A|B_i)P(B_i)} =\frac{MP(B_i|A)}{TP(B_i|A)} P(Bi​∣A)=P(A)P(Bi​A)​=i∈I∑​P(A∣Bi​)P(Bi​)P(Bi​∣A)P(A)​=TP(Bi​∣A)MP(Bi​∣A)​

例1

次品来源问题

一批零件来自三个供应商

试验内容:从零件中抽取一件

记,A={取到的产品是次品}记,A=\set{取到的产品是次品}记,A={取到的产品是次品}Bi={次品零件来自第i个厂商}B_i=\set{次品零件来自第i个厂商}Bi​={次品零件来自第i个厂商}该样品是次品的概率 由全概率公式:P(A)=∑i=13P(A∣B1)P(B1)=0.02∗0.15+0.01∗0.80+0.03∗0.05=0.0125P(A)=\sum\limits_{i=1}^{3}P(A|B_1)P(B_1)=0.02*0.15+0.01*0.80+0.03*0.05=0.0125P(A)=i=1∑3​P(A∣B1​)P(B1​)=0.02∗0.15+0.01∗0.80+0.03∗0.05=0.0125 从中取出一件,发现是次品,那么来自产商i的概率是多少(i=1,2,3)?从中取出一件,发现是次品,那么来自产商i的概率是多少(i=1,2,3)?从中取出一件,发现是次品,那么来自产商i的概率是多少(i=1,2,3)? 有贝叶斯公式: P(Bi∣A)=P(BiA)P(A)=P(A∣Bi)P(Bi)P(A)P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}P(Bi​∣A)=P(A)P(Bi​A)​=P(A)P(A∣Bi​)P(Bi​)​分别可以计算出: P(B1∣A)=0.02∗0.150.0125=0.24P(B_1|A)=\frac{0.02*0.15}{0.0125}=0.24P(B1​∣A)=0.01250.02∗0.15​=0.24…

例2

机器与产品合格率问题

设机器正常时,生产的产品合格率为0.9

否则合格率为0.3

如果机器开机后,正常的概率是0.75(先验概率)

那么如果该机器第一件产品是合格的,机器正常的概率是多少?

分析:

记A={第一件产品合格}记A=\set{第一件产品合格}记A={第一件产品合格}B=机器正常B={机器正常}B=机器正常所求概率表达式为:P(B∣A)=?P(B|A)=?P(B∣A)=?根据假设可知: P(A∣B)=0.9;P(A∣B‾)=0.3P(A|B)=0.9;P(A|\overline{B})=0.3P(A∣B)=0.9;P(A∣B)=0.3P(B)=0.75,P(B‾)=0.25P(B)=0.75,P(\overline{B})=0.25P(B)=0.75,P(B)=0.25 B,B‾构成了一个必然事件Ω的划分B,\overline{B}构成了一个必然事件\Omega的划分B,B构成了一个必然事件Ω的划分 即机器要么正常,要么不正常全概率公式TP:P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣B‾)P(B‾)=0.9∗0.75+0.3∗0.25=0.75全概率公式TP:P(A)={P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})}=0.9*0.75+0.3*0.25=0.75全概率公式TP:P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣B)P(B)=0.9∗0.75+0.3∗0.25=0.75 那么根据Bayes公式,从结果推原因: P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)=0.9∗0.750.75=0.9P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}=\frac{0.9*0.75}{0.75}=0.9P(B∣A)=P(A)P(A∣B)P(B)​=0.750.9∗0.75​=0.9