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【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面B样条曲线与曲面B样条的递推定义与性质基本概念定义de Boor-Cox递推定义特殊观察性质B样条曲线类型的划分B样条曲线的性质局部性开曲线定义域凸包性贝塞尔曲线是B样条曲线的特例分段参数多项式连续性导数公式变差缩减性仿射不变性几何不变性直线保持性习题De Door算法（了解）三次B样条的Bezier表示（了解）节点插入算法B样条曲线的优点B样条曲面【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面
B样条曲线与曲面
Bezier曲线缺陷：
缺乏灵活性：一旦确定了多边形的顶点数，就确定了曲线的阶数；
控制性差：当顶点数较多，曲线的阶次将比较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；
不易修改：由曲线的方程可看出，其Bernstein基函数的值在开区间(0,1)内不为零。因此，所定义之曲线(0<t<1)在区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。
B样条曲线：为克服Bezier曲线的缺陷，Gordon等人拓展了Bezier曲线，从外形设计的需求出发，希望新曲线易于进行局部修改、更逼近特征多边形、低阶次曲线
于是，用k阶B样条基函数替换了Bernstein基函数，构成了称之为B样条曲线的新型曲线。
B样条的递推定义与性质
基本概念
半开区间[ti,ti+1][t_i,t_{i+1}][ti,ti+1] 是第i+1个节点区间；
集合T称为节点矢量；
重节点：如果一个节点ti出现r次 (即ti=ti+1=...=tt+r−1,r>1t_i=t_{i+1}=...=t_{t+r-1},r>1ti=ti+1=...=tt+r−1,r>1),ti是重复度为r的多重节点
定义
Pi(i=0,1,...,n)P_i(i=0,1,...,n)Pi(i=0,1,...,n)是控制多边形的顶点
Ni,k(t)(i=0,1,...,n)N_{i,k}(t)(i=0,1,...,n)Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k阶(k-1次)B样条基函数
多种基函数的定义：
de Boor-Cox递推定义
第i个k阶（基函数度数）B-样条基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)
约定00=0\frac{0}{0}=000=0
通常称为de Boor-Cox递归公式；
如果次数为零(k= 1)，这些基函数都是阶梯函数。
特殊观察
1️⃣ 基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上非零；
2️⃣ 在任何一个节点区间[ti,ti+1)[t_i,t_{i+ 1})[ti,ti+1), 最多有k个(k-1)次基函数非零：Ni−k+1,k(t),Ni−k+2,k(t),...,Ni,k(t)N_{i-k+1,k}(t),N_{i-k+2,k}(t),...,N_{i,k}(t)Ni−k+1,k(t),Ni−k+2,k(t),...,Ni,k(t)
性质
Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是t的k阶多项式
1️⃣局部支撑性：Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的非零多项式
2️⃣权性(单位分解)
3️⃣微分公式
4️⃣非负性：对所有的i,k和t, Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是非负的
5️⃣重要结论
基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是(k-1)次多项式的复合曲线，连接点在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的节点处；
在重复度r的节点处，基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是Ck−r−1C^{k-r-1}Ck−r−1连续的；
如果节点数目是(m+1),函数的阶数是k,控制点的个数是(n+1)，则m=(n+k)，即节点数等于控制点数+阶数
❓ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成
5+4=9
注意阶数=次数+1
B样条曲线类型的划分
两个标准：首末节点是否重合和节点的分布情况。
1️⃣ 首末节点是否重合
开曲线：曲线不会与控制折线的第一边和最后一边接触；图1
闭曲线：第1个节点和最后1个节点是重复节点。
–Clamped：第一个节点和最后一个节点必须是重复度为k；图2
–Closed：重复某些节点和控制点。图3
2️⃣ 节点的分布情况
假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1,...n)P_i(i=0,1,...n)Pi(i=0,1,...n)，阶数为k（次数为k-1），则节点矢量为T=[t0,t1,...,tn+k]T=[t_0,t_1,...,t_{n+k}]T=[t0,t1,...,tn+k]
均匀样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基
节点矢量为[0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1]
准均匀样条曲线
两端点的重复度为k,内部其它节点呈均匀分布，且重复度为1。
端点过特征多边形的端点
节点矢量为[0, 0, 0, 0，1/3，2/3， 1，1, 1, 1]
分段Bezier曲线
节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。
图中有7个控制顶点，n=6，阶数为4，因此节点数为6+4+1=11，节点矢量为T=[t0,t1,...,t10]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]T=[t_0,t_1,...,t_{10}]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]T=[t0,t1,...,t10]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]
一般的非均匀B样条曲线
B样条曲线的性质
局部性
1️⃣ k阶B样条曲线上参数为t∈[ti,ti+1]t\in [t_i,t_{i+1}]t∈[ti,ti+1]的一点至多与k个控制顶点Pj(j=i−k+1,...i)P_j(j=i-k+1,...i)Pj(j=i−k+1,...i)有关，与其它控制顶点无关；
2️⃣ PiP_iPi只影响在区间[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的曲线P(t)；
基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上非零；
3️⃣ 基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在区间[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上都是次数不高于(k-1)的多项式。
❓改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?
P5影响在区间[t5,t9)∈[t3,t10][t5,t9)\in[t3,t10][t5,t9)∈[t3,t10]上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)
注意看定义域,可能有陷阱
开曲线定义域
有k个基函数的支持，定义域是[tk−1,tn+1][t_{k-1},t_{n+1}][tk−1,tn+1](k-1是次数，n+1是控制顶点数)
举例
使用节点向量T={0,0.25,0.5,0.75,1},如果基函数是2阶的(即k=2),那么有三个基函数N0,2(t),N1,2(t)和N2,2(t)；
第一个和最后一个节点区间只有一个非零基函数，而第二和第三节点区间(即[0.25,0.5)和[0.5,0.75))有两个非零基函数。
节点区间[0,0.25)和[0.75,1)没有基函数的“完全支持”。
一般来说，区间[t0,tk−1)[t_0,t_{k-1})[t0,tk−1)和[tn+1,un+k][t_{n+1},u_{n+k}][tn+1,un+k]不会有基函数的“完全支持”，当B样条曲线是开曲线时被忽略。
凸包性
贝塞尔曲线是B样条曲线的特例
分段参数多项式
P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式，因此P(t)是参数t的次数不高于k-1的分段多项式。
连续性
导数公式
变差缩减性
仿射不变性
即在仿射变换下，P(t)的表达式具有形式不变性。
如果一个仿射变换应用于B样条曲线，得到的结果可以从它的控制点的仿射像构建得到。
几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。
直线保持性
控制多边形退化为一条直线时曲线也退化为一条直线
习题
1️⃣ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成
5+4=9
2️⃣ 一条以P0,P1,P2,P3,P4为控制顶点的4阶(三次)B样条曲线，其节点向量为{0,0,0,1,2,3,4,4, 4},则其定义域为?
3️⃣ 由五个控制顶点所决定的3次B样条曲线，由几段3次B样条曲线段光滑连接而成？
定义域是[t3,t5][t3,t5][t3,t5]，有两段连接
4️⃣ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?
P5影响在区间[t5,t9)∈[t3,t10][t5,t9)\in[t3,t10][t5,t9)∈[t3,t10]上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)
De Door算法（了解）
de Boor 算法的递推关系如图
三次B样条的Bezier表示（了解）
节点插入算法
进一步改善B样条曲线的局部性质，提高曲线的形状控制的灵活性，可实现对曲线的分割等
给定一条k阶B样条曲线$P(t)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}P_i N_{i,k}(t) ，B样条基由节点矢量，B样条基由节点矢量，B样条基由节点矢量T={[t_0,t_1,…,t_{n+k}]}$完全决定
插入一个节点
在定义域某个节点区间[ti,ti+1][t_i,t_{i+1}][ti,ti+1]内插入一个节点t，得到新的节点矢量：T1=[t0,t1,...,ti,t,ti+1,...,tn+k]T^1={[t_0,t_1,...,t_i,t,t_{i+1},...,t_{n+k}]}T1=[t0,t1,...,ti,t,ti+1,...,tn+k]
重新编号成为：T1=[t01,t11,...,ti1,ti+11,ti+21,...,tn+k+11]T^1={[t_0^1,t_1^1,...,t_i^1,t_{i+1}^1,t_{i+2}^1,...,t_{n+k+1}^1]}T1=[t01,t11,...,ti1,ti+11,ti+21,...,tn+k+11]
新节点矢量T1决定了一组新B样条基Ni,k1(t),i=0,1,...,n+1N_{i,k}^1(t),i=0,1,...,n+1Ni,k1(t),i=0,1,...,n+1。原始的曲线可用这组新的B样条基与未知新顶点 Pi1P_i^1Pi1表示
未知新顶点的计算公式(Boehm)
算法过程
B样条曲线的优点
优点：
可以是贝塞尔曲线；满足贝塞尔曲线有的所有重要性质；提供了比贝塞尔曲线更灵活的控制
曲线的次数与控制点数目是分开的，可使用更低次曲线而仍然保持很多控制点；
可以改变一个控制点位置而不会全局地改变整个曲线形状；
还有其他设计和编辑形状的技术比如改变节点。
B样条曲线仍然是多项式曲线，而多项式曲线不能表示许多有用的简单的曲线比如圆和椭圆。
