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导数偏导数方向导数梯度的理解---微积分数学基础

时间：2023-05-26 00:44:17

文章目录

0 概述1. 导数的概念1.1 导数的定义1.2 导数的本质2. 偏导数的概念2.1 偏导数定义2.2 偏导数的本质3. 方向导数3.1 方向导数定义3.2 方向导数的最大值4. 梯度4.1 梯度定义4.2 梯度生而最快5. 总结参考：

0 概述

我们在ML week 1课程中了解到了单变量线性回归，这里使用了梯度下降法来不断更新θ0,θ1\theta_{0,} \theta_{1}θ0,θ1以求得Cost Function的最优解，从而确定hθ(xi)h_{\theta}\left(x_{i}\right)hθ(xi)。

那这里就产生了一个疑问：为什么使用梯度下降法求解？为什么使用梯度下降法，就能够得到最优解(全局或者局部)？

下边我们将从导数，偏导数，方向导数最后引出梯度，进而讲解为什么梯度下降法能够做到求解最优解。

1. 导数的概念

1.1 导数的定义

增量定义：若f(x)f(x)f(x)在点x0x_{0}x0的某个邻域内有定义，则当自变量 xxx 在x0x_{0}x0处取得增量Δx\Delta xΔx（点x0+Δxx_{0}+\Delta xx0+Δx仍然在邻域内），相应的yyy取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)，如果Δy\Delta yΔy与Δx\Delta xΔx在Δx→0\Delta x \rightarrow 0Δx→0时极限存在，则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_{0}x0处可导，这个极限就是y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_{0}x0的导数，记为f′(x0)f^{\prime}\left(x_{0}\right)f′(x0)。

f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}f′(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0)

极限定义：在定义域内，当变量xxx趋近于x0x_{0}x0时，f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}x−x0f(x)−f(x0)有极限，则有

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}f′(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)

1.2 导数的本质

对于一元函数而言，导数的几何意义是f(x)f(x)f(x)在点x0x_{0}x0切线的斜率。物理角度上来看，路程对时间的导数叫速度，速度对时间的导数叫加速度。

我们可以理解为这是一种线性近似，当一个函数为曲线时，我们对某一点的斜率，就是通过导数这种线性近似求得的。

但是对于多元函数而言，由于其几何图形为一个曲面，这时候导数作为切线斜率的解释似乎不成立了，因此引入了偏导数的概念。

2. 偏导数的概念

2.1 偏导数定义

对于多元函数，求导数其实也是要求一个切线的斜率，但是由于曲面上的点的切线有无数条，那么取那条切线的斜率呢，这时候就引入了偏导数的概念。

偏导数其实就是选取比较特殊的切线，求其斜率而得，以二元函数z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)为例，分为对xxx的偏导数和对yyy的偏导数。

如图所示：

对xxx的偏导数：过点(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right)(x0,y0,z0)垂直于yyy轴的曲线，在该点切线的斜率。

此时，该曲线可表示为

z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)

x=tx=tx=t

y=a+0×ty=a+0 \times ty=a+0×t

因此，我们求对xxx的偏导数，认为yyy是常量是完全正确的。

用导数定义来表示xxx的偏导数，

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}fx(x0,y0)=limΔx→0Δxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)

对yyy的偏导数：过点(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right)(x0,y0,z0)垂直于xxx轴的曲线，在该点切线的斜率。

同上理解。

fy(x0,y0)=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δyf_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}fy(x0,y0)=limΔy→0Δyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)

2.2 偏导数的本质

偏导数几何意义也是切线斜率，但是由于曲面上一点的切线有无数条(实际上是个切面)，偏导数选取的是垂直于各坐标轴的几条特殊切线的斜率。

偏导数物理意义表示函数沿着某个坐标轴方向上的变化率。

但是如果我们想求任意一条曲线切线斜率怎么办呢?这时候就引入了方向导数，可以求出曲面上某一点沿着任意方向的切线斜率。

3. 方向导数

以z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)为例，过曲面上任意一点(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right)(x0,y0,z0)的所有切线，组成一个切面。偏导数仅仅选择了垂直于xxx和yyy轴方向的两条切线，计算斜率，方向导数则要求任意切向的斜率。

如下图所示

3.1 方向导数定义

xxx和yyy平面上的一个方向向量，决定了一条过点(x0,y0,z0)\left(x_{0}, y_{0},z_{0}\right)(x0,y0,z0)的唯一曲线，此时曲线函数可表示为：

z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)

x=x0+tcos⁡αt≥0x=x_{0}+t \cos \alpha \quad t \geq 0x=x0+tcosαt≥0

y=y0+tcos⁡βt≥0y=y_{0}+t \cos \beta \quad t \geq 0y=y0+tcosβt≥0

u=i⃗cos⁡α+j⃗cos⁡β=i⃗cos⁡α+j⃗sin⁡αu=\vec{i} \cos \alpha+\vec{j} \cos \beta=\vec{i} \cos \alpha+\vec{j} \sin \alphau=icosα+jcosβ=icosα+jsinα

其中α\alphaα和β\betaβ分别为该方向向量与xxx轴和yyy轴的夹角。

则该曲线的记为方向u的导数，定义：

Duf(x,y)D_{u} f(x, y)Duf(x,y)=lim⁡t→0f(x0+tcos⁡α,y0+tsin⁡α)−f(x0,y0)t\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \sin \alpha\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}limt→0tf(x0+tcosα,y0+tsinα)−f(x0,y0)

通过偏微分简化计算可得（这一步的数学证明，请自行搜索），

Duf(x,y)=fx(x,y)cos⁡α+fy(x,y)sin⁡αD_{u} f(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alphaDuf(x,y)=fx(x,y)cosα+fy(x,y)sinα

3.2 方向导数的最大值

设偏导向量：

A⃗=(fx(x,y),fy(x,y))\vec{A}=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right)A=(fx(x,y),fy(x,y))

方向向量：

u⃗=(cos⁡α,sin⁡α)\vec{u}=(\cos \alpha, \sin \alpha)u=(cosα,sinα)

则

Duf(x,y)=A⃗∗u⃗D_{u} f(x, y)=\vec{A} * \vec{u}Duf(x,y)=A∗u=∣A⃗∣∗∣u⃗∣∗cos⁡(θ)|\vec{A}| *|\vec{u}| * \cos (\theta)∣A∣∗∣u∣∗cos(θ)

其中 θ\thetaθ 是偏导向量和方向向量之间的夹角。显而易见，当θ\thetaθ=0时，Duf(x,y)D_{u} f(x, y)Duf(x,y)取得最大值。

换句话说，当方向u⃗\vec{u}u和偏导向量同向时，方向导数取得正最大值，反向时，取得负最大值。

记住这个结论，接下来我们看梯度定义。

4. 梯度

4.1 梯度定义

对于函数z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)，在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(x0,y0)∈D\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D(x0,y0)∈D都可以定义出一个向量：

fx(x0,y0)i⃗+fy(x0,y0)j⃗f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \vec{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \vec{j}fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j

这个向量称为函数f(x,y)f(x, y)f(x,y)在(x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0)的梯度，记作 grad⁡f(x0,y0)\operatorname{grad} f\left(x_{0}, y_{0}\right)gradf(x0,y0)或者∇f(x0,y0)\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)∇f(x0,y0)。其中∇=∂∂xi⃗+∂∂yj⃗\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}∇=∂x∂i+∂y∂j称为向量微分算子或者Nabla算子。