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二元随机变量，离散型随机变量分布律二元随机变量二元离散型随机变量（一）离散型随机变量的联合概率分布律联合分布律的性质

二元随机变量，离散型随机变量分布律

二元随机变量

定义：设 EEE 是一个随机实验，样本空间 S={e}S=\{e\}S={e}；设 X=X(e)X=X(e)X=X(e) 和 Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e) 是定义在 SSS 上的随机变量，由它们构成的向量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 称为二维随机向量或二元随机变量。

二元离散型随机变量

定义：若二元随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 全部可能取到的不同值是有限时或可列无线对，则称 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 是二元离散型随机变量。

（一）离散型随机变量的联合概率分布律

设 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 所有可能取值为 (xi,yj)(x_i,y_j)(xi​,yj​)，称 P(X=xi,Y=yj)=Pij，i,j=1,2,⋯P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij}，i,j=1,2,\cdotsP(X=xi​,Y=yj​)=Pij​，i,j=1,2,⋯ 为二元离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合概率分布律。也可简称 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的分布律。可以用如下图的表格来表示

XYy1y2⋯yj⋯x1p11p12⋯p1j⋯x2p21p22⋯p2j⋯⋮⋯⋯⋯xipi1pi2⋯pij⋯⋮⋯⋯⋯\begin{array}{c|ccccc} _X\bcancel{\quad^Y} &y_1&y_2&\cdots&y_j&\cdots \\ \hline x_1 &p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1j}&\cdots \\ x_2 &p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2j}&\cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \\ x_i &p_{i1}&p_{i2}&\cdots&p_{ij}& \cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \end{array} X​Yx1​x2​⋮xi​⋮​y1​p11​p21​⋯pi1​⋯​y2​p12​p22​pi2​​⋯⋯⋯⋯⋯⋯​yj​p1j​p2j​pij​​⋯⋯⋯⋯⋯⋯​​

联合分布律的性质

pij≥0,p_{ij}\geq 0,pij​≥0,∑i=1∞∑j=1∞pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1i=1∑∞​j=1∑∞​pij​=1P((X,Y)∈D)=∑(xi,yj)∈DpijP((X,Y)\in D)=\sum_{(x_i,y_j)\in D}p_{ij}P((X,Y)∈D)=(xi​,yj​)∈D∑​pij​

其中 pij=P(X=xj,Y=yj),i,j=1,2,⋯p_{ij}=P(X=x_j,Y=y_j),i,j=1,2,\cdotspij​=P(X=xj​,Y=yj​),i,j=1,2,⋯

例 1：一盒子中有 10 件产品，其中 6 件正品 ，4 件次品。从中取 1 件产品检验，不放回，再取 1 件检验。引入如下的随机变量 XXX 与 YYY，

X={0,第1次取到次品1,第1次取到正品，Y={0,第2次取到次品1,第2次取到正品,X=\begin{cases} 0, &\text{第 1 次取到次品} \\ 1, &\text{第 1 次取到正品}， \end{cases} \quad Y=\begin{cases} 0, &\text{第2次取到次品} \\ 1, &\text{第2次取到正品}, \end{cases} X={0,1,​第1次取到次品第1次取到正品，​Y={0,1,​第2次取到次品第2次取到正品,​

求 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合分布律。

解：(X，Y)(X，Y)(X，Y) 可能的取值数对有：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B∣A)P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B∣A) 得：

P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0∣X=0)=410×39=215P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}=\cfrac{2}{15}P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0∣X=0)=104​×93​=152​

同理得：P(X=0,Y=1)=410×69=415P(X=0,Y=1)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}=\cfrac{4}{15}P(X=0,Y=1)=104​×96​=154​

P(X=1,Y=0)=610×49=415,P(X=1,Y=1)=610×59=515P(X=1,Y=0)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}=\cfrac{4}{15},P(X=1,Y=1)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{15}P(X=1,Y=0)=106​×94​=154​,P(X=1,Y=1)=106​×95​=155​

XY0102154151415515\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 \\ \hline 0 & \cfrac{2}{15} & \cfrac{4}{15} \\ 1 & \cfrac{4}{15} & \cfrac{5}{15} \end{array} X​Y01​0152​154​​1154​155​​​

例 2：设随机变量 XXX 在 1、2、3、4 四个正数中等可能地取一个值，另外一个随机变量 YYY 在 1∼X1\sim X1∼X 中等可能地取一整数值，试求 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合概率分布及 X、YX、YX、Y 的分布。

解：X、YX、YX、Y 的取值情况均为 1,2,3,4；当 i,j=1,⋯,4i,j=1,\cdots,4i,j=1,⋯,4 时

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j∣X=i)={14×1i,i≥j14×0,i<jP(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i<j \end{cases}P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j∣X=i)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​41​×i1​,41​×0,​i≥ji<j​

联合概率分布律如下：

XY12341140002181800311211211204116116116116\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{8} & \cfrac{1}{8} & 0 & 0 \\ \\ 3 & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & 0 \\ \\ 4 & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} \end{array} X​Y1234​141​81​121​161​​2081​121​161​​300121​161​​4000161​​​

求 X、YX、YX、Y 分布律

P(X=i)=1/4,i=1,2,3,4.P(X=i)=1/4, i=1,2,3,4.P(X=i)=1/4,i=1,2,3,4.

事件{X=1},⋯,{X=4}事件 \{X=1\},\cdots,\{X=4\}事件{X=1},⋯,{X=4} 是 {Y=j}\{Y=j\}{Y=j} 前导事件组，由全概率公式得：

P(Y=j)=∑i=14P(X=i)P(Y=j∣X=i),j=1,2,3,4.P(Y=j)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)P(Y=j|X=i),j=1,2,3,4.P(Y=j)=i=1∑4​P(X=i)P(Y=j∣X=i),j=1,2,3,4.

所以，X、YX、YX、Y 分布律就是在联合分布律表中横向、纵向相加！

例 3：袋中有 1 个红球， 2 个黑球，3 个白球，现有放回地取两次，每次取一球，以 X,Y,ZX,Y,ZX,Y,Z 分别表示两次取球所得的红、黑、白球个数。求：

（1）P(X=1∣Z=0)P(X=1|Z=0)P(X=1∣Z=0)

（2）P(X=1,Z=0)P(X=1,Z=0)P(X=1,Z=0)

（3）(X,Y)(X,Y)(X,Y) 概率分布。

解：

（1） 这一问表示的意思是取到不是白球的前提下，取到 1 个红球的概率，所以：

P(X=1∣Z=0)=13×23+23×13=49\quad P(X=1|Z=0)=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{9}P(X=1∣Z=0)=31​×32​+32​×31​=94​

（2）这一问表达的是取出 1 个红球跟 0 个白球的概率，所以：

P(X=1,Z=0)=16×26+26×16=19\quad P(X=1,Z=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{2}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{9}P(X=1,Z=0)=61​×62​+62​×61​=91​

这里需要注意两问的区别!

（3）X，YX，YX，Y 的取值范围均为 0, 1, 2.

P(X=0,Y=0)=36×36=14P(X=0,Y=0)=\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{4}\quad\quadP(X=0,Y=0)=63​×63​=41​ 2 球均为白球

P(X=0,Y=1)=26×36×2=13P(X=0,Y=1)=\cfrac{2}{6}\times\cfrac{3}{6}\times2=\cfrac{1}{3}\quad\quadP(X=0,Y=1)=62​×63​×2=31​ 黑白或者白黑

P(X=1,Y=2)=0P(X=1,Y=2)=0\quad\quadP(X=1,Y=2)=0 这里总数超过 2 个，不符合条件。

P(X=2,Y=0)=16×16=136P(X=2,Y=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}\quad\quadP(X=2,Y=0)=61​×61​=361​ 两球均为红球

其余情况类似可得！

所以 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的概率分布为：

XY011319116190213600\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{9} \\ \\ 1 & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{9} & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{36} & 0 & 0 \\ \\ \end{array} X​Y012​041​61​361​​131​91​0​291​00​​