文章目录
1.概述1.1 什么是TSNE1.2 TSNE原理1.2.1入门的原理介绍1.2.2进阶的原理介绍1.2.2.1 高维距离表示1.2.2.2 低维相似度表示1.2.2.3 惩罚函数1.2.2.4 为什么是局部相似性1.2.2.5 为什么选择高斯和t分布 2 python实现参考内容喜欢的话请关注我们的微信公众号~《你好世界炼丹师》。
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1.概述
1.1 什么是TSNE
TSNE是由T和SNE组成，T分布和随机近邻嵌入(Stochastic neighbor Embedding).TSNE是一种可视化工具，将高位数据降到2-3维，然后画成图。t-SNE是目前效果最好的数据降维和可视化方法t-SNE的缺点是：占用内存大，运行时间长。1.2 TSNE原理
1.2.1入门的原理介绍
举一个例子，这是一个将二维数据降成一维的任务。我们要怎么实现？
首先，我们想到的最简单的方法就是舍弃一个维度的特征，将所有点映射到x轴上：
很明显，结果来看，蓝色和黄色的点交叠在一起，可是他们在二维上明明不属于一类
TSNE就是计算某一个点到其他所有点的距离，然后映射到t分布上，效果就会好一些。
1.2.2进阶的原理介绍
t-SNE的降维关键：把高纬度的数据点之间的距离转化为高斯分布概率。1.2.2.1 高维距离表示
如果两个点在高维空间距离越近，那么这个概率值越大。我们来看下面公式，两个公式的内容一致，只是写法不同。P j ∣ i = e − ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 2 σ i 2 ∑ i ≠ k e − ∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 2 σ i 2 P_{j|i} = \frac{e^{\frac{-||x_i-x_j||^2}{2\sigma_i^2}}}{\sum_{i\not=k}e^{\frac{-||x_i-x_k||^2}{2\sigma_i^2}}} Pj∣i=∑i=ke2σi2−∣∣xi−xk∣∣2e2σi2−∣∣xi−xj∣∣2
这个形式的公式，只是明显的展示这是高斯分布概率
P j ∣ i = e x p ( − ∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 / ( 2 σ i 2 ) ) ∑ i ≠ k e x p ( − ∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 / ( 2 σ i 2 ) ) P_{j|i} = \frac{exp(-||x_i-x_k||^2/(2\sigma_i^2))}{\sum_{i\not=k}exp(-||x_i-x_k||^2/(2\sigma_i^2))} Pj∣i=∑i=kexp(−∣∣xi−xk∣∣2/(2σi2))exp(−∣∣xi−xk∣∣2/(2σi2))
∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 ||x_i-x_k||^2 ∣∣xi−xk∣∣2是两个点之间的距离；
距离越大， e x p ( − ∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 / ( 2 σ i 2 ) ) exp(-||x_i-x_k||^2/(2\sigma_i^2)) exp(−∣∣xi−xk∣∣2/(2σi2))越小；
距离越小， e x p ( − ∣ ∣ x i − x k ∣ ∣ 2 / ( 2 σ i 2 ) ) exp(-||x_i-x_k||^2/(2\sigma_i^2)) exp(−∣∣xi−xk∣∣2/(2σi2))越大；
分母是一个常数，对于一个固定的点 x i x_i xi;
这个算法的创新点： σ i \sigma_i σi对于每一个 x i x_i xi都是不同的，是由事先设定的困惑性影响， σ i \sigma_i σi是自动设定的。
现在我们能得到 p j ∣ i p_{j|i} pj∣i,然后计算联合分布
P i j = P j ∣ i + P i ∣ j 2 N P_{ij} = \frac{P_{j|i}+P_{i|j}}{2N} Pij=2NPj∣i+Pi∣j
从上文中，我们用高斯分布概率来表示两个高维点之间的相似性，再次复述一次两个点越相似， p i j p_{ij} pij越大
1.2.2.2 低维相似度表示
在低纬度中，我们使用t分布来表示相似性。这里不探究为什么使用t分布而不是其他分布，具体内容可以看论文Q i j = ( 1 + ∣ ∣ y i − y j ∣ ∣ 2 ) − 1 ∑ k ≠ l ( 1 + ∣ ∣ y k − y l ∣ ∣ 2 ) − 1 Q_{ij} = \frac{(1+||y_i-y_j||^2)^{-1}}{\sum_{k\not=l}(1+||y_k-y_l||^2)^{-1}} Qij=∑k=l(1+∣∣yk−yl∣∣2)−1(1+∣∣yi−yj∣∣2)−1
y i , y j y_i,y_j yi,yj是低纬度的点
1.2.2.3 惩罚函数
现在我们有方法衡量高纬度和低纬度的点的相似性，我们如何保证高纬度相似度高的点在低纬度相似度也高？t-SNE使用的是KL散度(Kullback-Leibler divergence)K L ( P ∣ Q ) = ∑ i ≠ j P i j log P i j Q i j KL(P|Q) = \sum_{i\not=j}P_{ij}\log\frac{P_{ij}}{Q_{ij}} KL(P∣Q)=i=j∑PijlogQijPij
1.2.2.4 为什么是局部相似性
当 P i j P_{ij} Pij很大， Q i j Q_{ij} Qij很小（高维空间距离近，低维空间距离远）的惩罚很大，但是高维空间距离远，低维空间距离近的惩罚小。1.2.2.5 为什么选择高斯和t分布
降维必然带来信息损失，TSNE保留局部信息必然牺牲全局信息，而因为t分布比 高斯分布更加长尾，可以一定程度减少这种损失。2 python实现
函数参数表：
parameters 描述n_components 嵌入空间的维度perpexity 混乱度，表示t-SNE优化过程中考虑邻近点的多少，默认为30，建议取值在5到50之间early_exaggeration 表示嵌入空间簇间距的大小，默认为12，该值越大，可视化后的簇间距越大learning_rate 学习率，表示梯度下降的快慢，默认为200，建议取值在10到1000之间n_iter 迭代次数，默认为1000，自定义设置时应保证大于250min_grad_norm 如果梯度小于该值，则停止优化。默认为1e-7metric 表示向量间距离度量的方式，默认是欧氏距离。如果是precomputed，则输入X是计算好的距离矩阵。也可以是自定义的距离度量函数。init 初始化，默认为random。取值为random为随机初始化，取值为pca为利用PCA进行初始化（常用），取值为numpy数组时必须shape=(n_samples, n_components)verbose 是否打印优化信息，取值0或1，默认为0=>不打印信息。打印的信息为：近邻点数量、耗时、σ
、KL散度、误差等random_state 随机数种子，整数或RandomState对象method 两种优化方法：barnets_hut和exact。第一种耗时O(NlogN)，第二种耗时O(N^2)但是误差小，同时第二种方法不能用于百万级样本angle 当method=barnets_hut时，该参数有用，用于均衡效率与误差，默认值为0.5，该值越大，效率越高&误差越大，否则反之。当该值在0.2-0.8之间时，无变化。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import manifold,datsets'''X是特征，不包含target;X_tsne是已经降维之后的特征'''tsne = manifold.TSNE(n_components=2, init='pca', random_state=501)X_tsne = tsne.fit_transform(X)print("Org data dimension is {}. Embedded data dimension is {}".format(X.shape[-1], X_tsne.shape[-1]))'''嵌入空间可视化'''x_min, x_max = X_tsne.min(0), X_tsne.max(0)X_norm = (X_tsne - x_min) / (x_max - x_min) # 归一化plt.figure(figsize=(8, 8))for i in range(X_norm.shape[0]):plt.text(X_norm[i, 0], X_norm[i, 1], str(y[i]), color=plt.cm.Set1(y[i]), fontdict={'weight': 'bold', 'size': 9})plt.xticks([])plt.yticks([])plt.show()
