第五章：动态模型（微分方程建模）
· 预报与决策类型
· 描述对象特征随时间或空间的演变过程；
· 分析对象特征的变化规律；
· 预报对象特征的未来特征；
· 研究控制对象特征的手段等。
这类题，要求的是一种趋势，描述一种变化过程，也可以称为预测。（属于动态）
1.传染病模型
a)问题描述：描述产染病的传播过程；分析受感染人数的变化规律；预报传染病高潮到来的时刻；预防传染病蔓延的手段；按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型；之后使用测试分析，确定最好的模型。
b)问题模型：
这种类型题目，需要依据不同的假设，来建立不同的模型（一般要多个），之后再通过测试分析，确定建模的可靠性。
c)最好可以在最后进行一次全部综合的区别，分析。
2.经济增长模型
a)通过增加生产、发展经济、增加投资、增加劳动力、提高技术
· 建立产值与资金劳动力之间的关系；
· 研究资金与拉动力的最佳分配（静态）；
· 调节资金与劳动力的增长率，使经济（生产率）增长。
b)使用现成的道格拉斯生产函数；
c)资金与拉动力的最佳分配（静态）；
d)经济（生产率）增长的条件（动态模型）。
3.Lanchester战争模型
a)问题描述：第一次世界大战时提出的预测战争结果的数学模型；分为不同的三种战争类型。
b)问题假设：
i.只考虑双方兵力多少和战斗力强弱；
ii.兵力因战斗减员，因增援而增加；
iii.战斗力与射击次数、命中率等相关；
c)建立一般模型；
d)建立不同三种战争类型的模型（一般要建模，作图进行分析比较）。
4.药物在体内的分布与排除
a)问题描述：药物进入人体形成血药浓度？
b)问题要求：
i.血药浓度需保持在一定范围内：给出药物方案射击；
ii.研究药物在体内吸收、分布和排出的过程：药物动力学；
iii.建立房室模型：药物动力学的基本步骤；
iv.本节讨论二室模型：中心室（心、肺、肾等）和周边室（四肢、肌肉等）。
c)模型假设：中心室和周边室溶剂不变；药物转移顺序；药物转移速率及排出体外速率，与该室血药浓度成正比等。（必须是合理假设！）
d)模型建立：线性常系数非齐次方程。
e)模型求解：
i.假定不同的初始条件；
ii.在不同的条件下进行参数估计；
5.香烟过滤嘴模型：
a)问题描述：
i.过滤嘴的作用与材料、长度的关系；
ii.建立吸烟过程的数学模型；
iii.分析吸入的毒物量与哪些因素有关，定量关系如何？
b)模型分析：
i.分析吸烟时毒物进入人体的过程；
ii.设想一个机器人，在典型环境下吸烟，其方式和外部环境不变。
c)模型假设：
i.l1：烟草长 l2：过滤嘴长 l = l1 + l2；
毒物M均匀分布，密度w0 = M / l1
ii.点燃处毒物随延误进入空气和延香烟穿行的数量比是 a’:a，a’ + a = 1
iii.未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率分别为b和B；
iv.延误沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u。 v>>u
d)定性分析：大致的一种变化趋势，导致吸入人体毒物总量的变化趋势分析
B↑，l2↑，M⬇，a⬇，v⬇ è Q⬇
B↑，l1↑，u↑⬇ è Q⬇
e)模型建立（结合画图）：
t=0，x=0，点燃香烟； q(x,t)：毒物流量；w(x,t)：毒物密度；w(x,0) = w0
Q = q(l,t)dt, T = l1/u （0<=t<=T）
f)进行求解，得出Q。
g)分析的话，可以从加过滤嘴与不加过滤嘴两种情况Q的的多少来进行分析。
h)之后依据不同的假设变量情况，得出结论。
6.烟雾的扩散与消失
a)问题描述：炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域；
不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后延误消失；
建立了模型描述延误扩散和消散的过程，分析消散时间与各因素的关系。
b)问题分析：
i.无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化；
ii.观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。
c)模型假设：
i.烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律；
ii.光线传过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。
iii.传过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
d)模型建立：
i.烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律：依据热传导定律；
ii.传过烟雾光强的变化规律；
iii.仪器灵敏度与烟雾明暗界限；
iv.不透光区域边界的变化规律（核心）。
等等，需要查询一些资料进行函数方程式的建模分析，初学，先有一个大体概念，对具体先不做考虑，等之后分析。
e)结果分析
观测到不透光区域边界达到最大时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2。
总结：
1.传染病模型：依据不同假设，进行不同情况下的建模分析；
2.经济增长模型：依据现有的道格拉斯生产函数建模；之后分析一个静态的最佳配比；再建立一个经济增长的动态模型。
3.Lanchester战争：主要是做好假设。
4.药物在体内的分布与排除：这种类型的题目，一般纯建模是无法进行的，都要参考一定的文献。建立方程之后，根据不同的初始条件，进行不同的参数估计，模型求解。
5.香烟过滤嘴模型：具体问题，数字化。
6.烟雾的扩散与消失：对于特定的问题，可以寻求特定的描述方式，有时需要搜索相关书籍资料来帮助建模理解。
