椭圆滤波器与巴特沃斯 切比雪夫的比较和实现

椭圆滤波器（Elliptic filter）又称考尔滤波器（Cauer filter）：这是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。它在通带和阻带的波动相同，这一点区别于在通带和阻带都平坦的巴特沃斯滤波器，以及通带平坦、阻带等波纹或是阻带平坦、通带等波纹的切比雪夫滤波器。

首先看看巴特沃斯滤波器的频响特性：

可以看出巴特沃斯的通带和阻带都十分平缓

接下来是切比雪夫滤波器频响曲线：

看得出来，切比雪夫是阻带平稳，通带等波纹。

接下来是椭圆滤波器：

可以看出，三种滤波器中，椭圆滤波器的过渡带最窄，但通带和阻带都是等波纹的，也就是说过渡带的特性是由牺牲阻带和通带的稳定性换来的。

而对于相同的性能要求，它所需要的阶数最低。

对于模拟椭圆滤波器，振幅平方函数为：

式中 R N(Ψ, L) 为雅可比椭圆函数 ; L 是一个表示波纹性质的参量 。其特性曲线如下图所示 。

可以看出，在归一化通带内，R（）在（0,1）之间振荡，而超过Ω之后，R在（L^2，∞）之间振荡，这一特点使得滤波器同时 在通带和阻带具有任意衰减量。

下图是典型的N为奇数的椭圆滤波器的幅度特性：

由于模拟滤波器的设计方法非常成熟 ,许多典型系统有成熟的公式 、图表可以查阅 ,便于设计 ; 因此设计数字滤波器的主要方法是 : 首先设计一个合适的模拟滤波器 , 然后将他 “ 变换 ” 成满足给定指标的数字滤波器 。

设计椭圆滤波器的四个步骤：

1.确定数字滤波器性能指标：: ω p , ω s , Ap , A s

2.将数字滤波器性能指标转换成相应的模拟滤波器性能指标 ;

3.设计满足指标要求的模拟滤波器 H a(s)

4.通过变换将模拟滤波器转换成数字滤波器 。

椭圆滤波器的MATLAB实现：

库函数：: ellipord 函数和 ellip 函数

ellipord 函数的功能是求滤波器的阶数。该函数可以得到数字椭圆型滤波器的最小阶数 n 和截止频率 Wn ,并使滤波器在通带内(0 , Wp)的波纹系数小于通带最大衰减 R p ,阻带内(W s , 1)的波纹系数大于阻带最小衰减 R s

ellip 函数的功能是设计滤波器，[ b, a] = ellip(n , R p , R s , Wn), 利用 ellipord 函数得到的最小阶数 n 和截止频率 Wn ,可以设计低通 、或带通滤波器(当 W n =[ W 1 , W 2] 时)。

例如 : 设计一个带通椭圆数字滤波器 , 通带为 100 ～250 H z,过渡带均为 50 H z,通带波纹小于 3 db ,阻带衰减为 30 db ,采样频率 f s =1 000 H z 。其程序为 :

fs = 1000 ;

Rp =3; Rs =30 ;

Wp =2 *[ 100 200] /fs;

W s = 2 *[ 50 250] /f s;

[ n , W n] = ellipo rd (Wp , W s , Rp , Rs);

[ b , a] = ellip(n , Rp, Rs Wn);

freqz (b, a, 512 , fs)

程序运行结果如下图所示 ：