前置内容：高中数学选修2-2学习笔记； 《高等数学》学习笔记一：函数与极限

二、导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1 导数定义

假设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​的某邻域内有定义。取增量Δx\Delta xΔx（x+Δxx+\Delta xx+Δx在邻域内），则Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)。

如果lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0lim​ΔxΔy​存在，那么我们称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​可导，把这个极限值称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处的导数，记为f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)，或y′∣x=x0y'|_{x=x_0}y′∣x=x0​​，或dydx∣x=x0\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}dxdy​∣x=x0​​。

这个极限同样可以表示为lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​，或lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​。

类似于左极限、右极限，单侧导数就是从某侧逼近的导数。

左导数：f−′(x0)=lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)h=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0f_-'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f−′​(x0​)=h→0−lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​=x→x0−​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

右导数：f+′(x0)=lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)h=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0f_+'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f+′​(x0​)=h→0+lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​=x→x0+​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

比如f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣，则左导数f−′(0)=−1f_-'(0)=-1f−′​(0)=−1，右导数f+′(0)=1f_+'(0)=1f+′​(0)=1。导数f′(0)f'(0)f′(0)不存在。

f(x)f(x)f(x)在某点可导，等价于左右导数都存在且相等。

注意：导数的严格写法是ddxy\frac{d}{dx}ydxd​y，dydx\frac{dy}{dx}dxdy​是简便写法，有时不能看成dydydy与dxdxdx的商（有时可以）。

2.1.2 导数的几何意义（略）

可导相当于光滑，剩下的见选修2-2学习笔记（

2.1.3 可导与连续的关系

连续就是lim⁡Δx→0Δy→0\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y\to 0Δx→0lim​Δy→0，可导就是lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0lim​ΔxΔy​存在。

如果函数可导，那么ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​不为无穷大，而Δx\Delta xΔx又趋于0，那Δy\Delta yΔy只能趋于0。所以可导一定连续。

如果函数连续，只能说明Δx→0\Delta x\to 0Δx→0时，Δy→0\Delta y\to 0Δy→0，但无法说明ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​是否为无穷，也无法说明极限值一定存在。因此连续不一定可导。

2.2 求导方法

2.2.1 导数公式

以下是选修2-2笔记中已证明的公式（补充：(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}(tanx)′=cos2x1​）

以下是学习笔记一中提到的公式：

(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x2​1​；(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x2​1​；(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21​

2.2.2 求导法则（略）

见选修2-2学刁笔记（

2.2.3 隐函数求导

显函数是指能表示为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的函数，隐函数是能表示为F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0的函数。

例如，y=x2−2x+3y=x^2-2x+3y=x2−2x+3是显函数，ey+xy+114x+514=0e^y+xy+114x+514=0ey+xy+114x+514=0是隐函数。

隐函数无法把yyy都挪到一边再求导，但我们可以通过两边求导间接得到y′y'y′。

魔法：对xxx求导，相当于补上一个ddx\frac{d}{dx}dxd​。（d表示变化量，d/dx表示变化量与x变化量的比值，也就是导数）

显然，等式两边对xxx求导之后仍然是相等的。因此我们可以运用魔法对ey+xy+114x+514=0e^y+xy+114x+514=0ey+xy+114x+514=0求导：

d(ey)dx+d(xy)dx+114=0\frac{d(e^y)}{dx}+\frac{d(xy)}{dx}+114=0dxd(ey)​+dxd(xy)​+114=0。

第一项可以变为d(ey)dy∗dydx\frac{d(e^y)}{dy}*\frac{dy}{dx}dyd(ey)​∗dxdy​，第二项就是一个乘法求导。因此化简为：

ey∗y′+(y+xy′)+114=0e^y*y'+(y+xy')+114=0ey∗y′+(y+xy′)+114=0

合并同类项：(ey+x)y′=−114−y(e^y+x)y'=-114-y(ey+x)y′=−114−y，那么y′=−114−yey+xy'=\frac{-114-y}{e^y+x}y′=ey+x−114−y​。

第一项的求导方式也可以看成复合函数求导，把第一项看成eye^yey和yyy对xxx的函数的复合函数，那么求导就是两个导数相乘，即ey∗y′e^y*y'ey∗y′。

同样的方式，我们可以对y5+2y−x−3x7=0y^5+2y-x-3x^7=0y5+2y−x−3x7=0求导：

5y4y′+2y′−1−21x6=05y^4y'+2y'-1-21x^6=05y4y′+2y′−1−21x6=0，则(5y4+2)y′=21x6+1(5y^4+2)y'=21x^6+1(5y4+2)y′=21x6+1，因此y′=21x6+15y4+2y'=\frac{21x^6+1}{5y^4+2}y′=5y4+221x6+1​。

x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=116x2​+9y2​=1，两边求导：x8+2y∗y′9=0\frac{x}{8}+\frac{2y*y'}{9}=08x​+92y∗y′​=0，得到y′=−9x16yy'=-\frac{9x}{16y}y′=−16y9x​

y=xsin⁡xy=x^{\sin x}y=xsinx，变形为ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln xlny=sinxlnx，两边求导：

y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡xx\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}yy′​=cosxlnx+xsinx​，则y′=y(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)y'=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})y′=y(cosxlnx+xsinx​)=xsinx(cosxlnx+xsinx​)

y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}y=(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)​​，平方得y2=∣(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)∣=∣x−1∣∣x−2∣∣x−3∣∣x−4∣y^2=|\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}|=\frac{|x-1||x-2|}{|x-3||x-4|}y2=∣(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)​∣=∣x−3∣∣x−4∣∣x−1∣∣x−2∣​，取对数得2ln⁡y=ln⁡∣x−1∣+ln⁡∣x−2∣−ln⁡∣x−3∣−ln⁡∣x−4∣2\ln y=\ln|x-1|+\ln|x-2|-\ln|x-3|-\ln|x-4|2lny=ln∣x−1∣+ln∣x−2∣−ln∣x−3∣−ln∣x−4∣。

两边求导：2y′y=1∣x−1∣+1∣x−2∣−1∣x−3∣−1∣x−4∣\frac{2y'}{y}=\frac{1}{|x-1|}+\frac{1}{|x-2|}-\frac{1}{|x-3|}-\frac{1}{|x-4|}y2y′​=∣x−1∣1​+∣x−2∣1​−∣x−3∣1​−∣x−4∣1​，由此推出y′y'y′。

2.2.4 参数方程求导

求导时，求的其实是dydx\frac{dy}{dx}dxdy​。参数方程中，已知的只有xxx和yyy分别与ttt的关系，难以直接求dydx\frac{dy}{dx}dxdy​。

因此我们可以用dydx=dy/dtdx/dt\large\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}dxdy​=dx/dtdy/dt​的方式，先求yyy对ttt的导数，再求xxx对ttt的导数，再取比值。

举例：{x=t+1y=t2\left\{ \begin{aligned} x=t+1 \\ y=t^2\ \ \ \ \ \end{aligned} \right. {x=t+1y=t2​

那么dydx=dy/dtdx/dt=2t1=2t\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{1}=2tdxdy​=dx/dtdy/dt​=12t​=2t，即y′=2ty'=2ty′=2t。

验证：这个参数方程其实就是y=(x−1)2y=(x-1)^2y=(x−1)2，求导得y′=2(x−1)y'=2(x-1)y′=2(x−1)。由于x−1=tx-1=tx−1=t，所以两种求导方式得出的结果相同。

如果想求更高阶导，方式是相同的，不断让分式上下同时对ttt求导。

举例：{x=etcos⁡ty=etsin⁡t\left\{ \begin{aligned} x=e^t\cos t \\ y=e^t\sin t \end{aligned} \right. {x=etcosty=etsint​

先求一阶导：dydx=dy/dtdx/dt=etsin⁡t+etcos⁡tetcos⁡t−etsin⁡t=sin⁡t+cos⁡tcos⁡t−sin⁡t\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{e^t\sin t+e^t\cos t}{e^t\cos t-e^t\sin t}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}dxdy​=dx/dtdy/dt​=etcost−etsintetsint+etcost​=cost−sintsint+cost​。

二阶导：d2ydx2=d(dydx)dx=ddydx/dtdx/dt=(cos⁡t−sin⁡t)2+(sin⁡t+cos⁡t)2(cos⁡t−sin⁡t)2et(cos⁡t−sin⁡t)=2(sin⁡2t+cos⁡2t)et(cos⁡t−sin⁡t)3=2et(cos⁡t−sin⁡t)3\frac{d^2y}{dx^2}=\large\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d\frac{dy}{dx}/dt}{dx/dt}=\frac{\frac{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}{(\cos t-\sin t)^2}}{e^t(\cos t-\sin t)}=\frac{2(\sin^2t+\cos^2t)}{e^t(\cos t-\sin t)^3}=\frac{2}{e^t(\cos t-\sin t)^3}dx2d2y​=dxd(dxdy​)​=dx/dtddxdy​/dt​=et(cost−sint)(cost−sint)2(cost−sint)2+(sint+cost)2​​=et(cost−sint)32(sin2t+cos2t)​=et(cost−sint)32​。

2.3 微分的概念

2.3.1 微分定义

假设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​的某个去心邻域内有定义。取增量Δx\Delta xΔx，记Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)。

若Δy\Delta yΔy可表示为AΔx+o(Δx)A\Delta x+o(\Delta x)AΔx+o(Δx)的形式（ooo表示高阶无穷小），且AAA的表示不依赖于Δx\Delta xΔx，那么称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​可微。

记dy=AΔx\mathrm{dy}=A\Delta xdy=AΔx，将其称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处的微分（又叫线性主部），将dx=Δx\mathrm{dx}=\Delta xdx=Δx称为自变量xxx的微分。

其实o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)对AΔxA\Delta xAΔx来说是很小的，因此dy∼Δy\mathrm{dy}\sim\Delta ydy∼Δy。（dx→0\mathrm{dx}\to 0dx→0）

下面来看微分和导数的关系：微分是dy,dxdy,dxdy,dx，导数是lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}Δx→0lim​ΔxΔy​。

如果某函数可微，那么Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx)，则lim⁡Δx→0ΔyΔx=A+o(dx)dx\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(dx)}{dx}Δx→0lim​ΔxΔy​=A+dxo(dx)​，由无穷小的定义o(dx)dx=0\frac{o(dx)}{dx}=0dxo(dx)​=0，故此时函数可导，f′(x0)=Af'(x_0)=Af′(x0​)=A。

如果某函数可导，那么lim⁡Δx→0ΔyΔx=f′(x0)\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)Δx→0lim​ΔxΔy​=f′(x0​)。由无穷小性质，此式也可表示为Δy=f′(x0)Δx+αΔx\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta xΔy=f′(x0​)Δx+αΔx。

而αΔx=o(Δx)\alpha\Delta x=o(\Delta x)αΔx=o(Δx)，因此Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)Δy=f′(x0​)Δx+o(Δx)，故此时函数可微。

我们其实证明了两件事：1.可微和可导是等价的；2.导数就是微分之商。

例如y=x2y=x^2y=x2在x=1x=1x=1处：导数y′∣x=1=2y'|_{x=1}=2y′∣x=1​=2，微分dy∣x=1=2dxdy|_{x=1}=2dxdy∣x=1​=2dx，Δx=0.01\Delta x=0.01Δx=0.01时微分dy=0.02dy=0.02dy=0.02。

微分的几何意义：xxx变化很小时yyy的变化量。

2.3.2 微分的运算法则

微分公式其实就是导数公式乘dxdxdx，这里就不写了（

d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dvd(u±v)=du±dv；

d(uv)=vdu+udvd(uv)=vdu+udvd(uv)=vdu+udv； //前微后不微，后微前不微（

d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v})=\large\frac{vdu-udv}{v^2}d(vu​)=v2vdu−udv​。

复合函数的微分：假设y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)。

则dy=f′(u)dudy=f'(u)dudy=f′(u)du，du=g′(u)dxdu=g'(u)dxdu=g′(u)dx，因此dy=f′(u)g′(x)dx=yx′dx=yu′dudy=f'(u)g'(x)dx=y_x'dx=y_u'dudy=f′(u)g′(x)dx=yx′​dx=yu′​du。

上式被称为微分形式不变性，即对于任意中间量ttt，dy=yt′dtdy=y_t'dtdy=yt′​dt。