本文主要参考资料来自sympy的官网：
Introduction - SymPy 1.4 documentation
一般，我们使用计算机软件进行数学计算，主要是数值计算，就算有变量，也是代入具体数值来算的，我们在初中到大学学到的符号计算，很多时候无法用计算机来进行，比如下面的多项式化简：
上面的式中没有任何一个具体数值，完全是符号进行计算，这时我们只能手算了。当然，我们可以用商业软件mathematics, 但是非常昂贵，幸好我们还有python，有了开源的sympy模块，我们可以做到如下功能：
core symbolic mathematics: 基础运算，包括：化简Simplification，各种函数运算等；Polynomials：多项式运算及求解Calculus：极限、微分、积分Solving equations：各种方程求解Combinatorics：组合学Discrete math：离散数学Matrices：矩阵运算Geometry：几何学Physics：物理学Statistics：统计学Cryptography：密码学
下面我们分几个专题来介绍其功能，这篇介绍基础的运算。
Symbols ： 符号
在进行符号运算前，必须先定义符号，下面的例子我们定义了两个符号x,y:
import sympy as syx,y = sy.symbols('x y') #符号间用空格隔开print(type(x))print(type(y))
输出：
sympy.core.symbol.Symbolsympy.core.symbol.Symbol
2. Symbols expression: 符号表达式
当一个表达式中有任何一个变量是sympy symbol，就变成一个symbols expression，它不会直接进行运算，除非你使用subs()方法代入具体的数值，看下面的例子：
import sympy as syx,y=sy.symbols("x y")f=x**2+3*x-5print(f"f(x)={f}") #直接打印f是显示表达式xx=3print(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}") #代入具体数值来计算最终的结果yy=4f1=(x**2+y**2)**0.5print(f"f1(x,y)={f1}") #直接打印f1是显示表达式print(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}") #代入具体数值来计算最终的结果
结果：
f(x)=x**2 + 3*x - 5f(3)=13f1(x,y)=(x**2 + y**2)**0.5f1(3,4)=5.00000000000000
3. Substitution : 代换
上面的例子，显示了如何在表达式中代入具体的数值，但是替换还可以有更多的可能，看下面的例子：
, --->
import sympy as sya,x,t=sy.symbols("a x t")f=sy.cos(x)print(f"f(t)={f.subs({x: a**t})}")
输出：
f(t)=cos(a**t)
4.evalf：计算出具体的值
不单单用sympy symbols组成的表达式，用sympy functions或sympy Rational组成的表达式，都是不会直接计算出实际的数值，这时候可以用evalf函数来实际计算出具体的数值，看下例：
import sympy as syy = sy.sqrt(2)+sy.Rational(3,8)print(f"{y}={y.evalf()}")
输出：
3/8 + sqrt(2)=1.78921356237310
5. 更漂亮和专业的输出
在ipython中，运行：sympy.init_printing()后，可以以比较漂亮的格式来打印(用sympy.pprint()函数)输出公式，比如：
import sympy as sysy.init_printing()sy.pprint(x**2+sy.Rational(1,3))
输出：
2 1x + ─3
如果在jupyter notebook中，可以用下面的方法用latex来输出漂亮的公式：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y=sy.symbols("x y")f=x**2+3*x-5display(Latex(f"$$f(x)={sy.latex(f)}$$"))xx=3sy.pprint(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}")yy=4f1=sy.sqrt(x**2+y**2)display(Latex(f"$$f_1(x,y)={sy.latex(f1)}$$"))sy.pprint(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}")
输出：
关于latex的介绍，参见我的另一个专栏。
6. Simplification ： 化简
对于sympy来说，最强大的一点就是对公式进行化简，下面显示几个例子：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x = sy.symbols("x")y = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.simplify(y))}$$"))
输出：
这里是用simplify()函数，绝大部分情况下它很好用，就是有几个问题：
它不能控制我们最终想要的形式，比如想要多项式（和式a+b+c）的最简式，还是多项乘积(a*b*c)的最简式，这可以用后面介绍的两个函数来取代；它速度比较慢，同样，可以用其他更快的函数取代，但是通用性没有它好。
当我们需要化简为和式的表达式时，可以用expand()函数，参见下例：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x = sy.symbols("x")y = (x + 1)**2display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.expand(y))}$$"))
输出：
当我们需要化简为乘积表达式时，可以用factor()函数，参见下例：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x = sy.symbols("x")y = x**3 - x**2 + x - 1display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.factor(y))}$$"))
输出：
当我们的表达式各项有相同的变量，我们可以用collect()函数来合并同阶的项，看下例：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")f = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.collect(f,x))}$$"))
输出：
当我们需要把表达式转换为
这样的最简式的时候，可以用cancel()函数，它会上下消除相同的项，见下例，另，cancel()函数最后分子分母都化简为多项式的和式，如果要化简为乘积式，可以用factor()函数。
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")f = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.cancel(f))}={sy.latex(sy.factor(f))}$$"))
输出：
下面看看apart()函数，可以用来把分数表示的多项式因式分解，看例子：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")f = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.apart(f))}$$"))print(sy.latex(f), sy.latex(sy.apart(f)))
输出：
对于三角函数，可以用：trigsimp()函数来化简，比如下例：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")f = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.trigsimp(f))}$$"))
反过来，可以用expand_trig()函数来展开三角函数，看下例：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z")f = sin(x+y)display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.expand_trig(f))}$$"))
输出：
对于指数函数的化简，比较麻烦，因为一般指数函数的形式：
，对于底： 和指数: ,当它们取不同类型的值或范围的时候，其结果是不一样的，比如： :当 都是正数，且 是实数，可以化简为： ，但是 其他情况就不行，比如设 ， ，则 ，而 ，两边不相等； ：当 是整数时，可以化简为： ，但是其他情况下，就不行，比如：设： ， 而 ，两者不相同； ：对于任何情况都合适。
缺省情况下，sympy假设symbols都是属于复数类型，这样上面的一些指数表达式就无法进行简化，而我们可以在定义symbols的时候，指定其属于什么类型，这样一些简化就可以进行，看下面的例子：
from IPython.display import display, Lateximport sympy as sysy.init_printing()x, y = symbols('x y', positive=True) #定义为正实数a, b = symbols('a b', real=True)#定义为实数z, t, c = symbols('z t c')f1 = t**c*z**cf2 = x**a*x**bf3 = x**a*y**adisplay(Latex(f"$${sy.latex(f1)}={sy.latex(sy.powsimp(f1))}$$"))display(Latex(f"$${sy.latex(f2)}={sy.latex(sy.powsimp(f2))}$$"))display(Latex(f"$${sy.latex(f3)}={sy.latex(sy.powsimp(f3))}$$"))
输出：
注意上面第一个式子，由于
是复数，所以简化没法进行；
而第二、第三个式子中由于设定符号
都符合要求，所以可以进行简化。
除了这些以外，还有：expand_power_exp(), expand_power_base(), powdenest(), expand_log(), logcombine()等函数可以进行化简，参看下面的资料：
Simplification - SymPy 1.4 documentation
Simplification - SymPy 1.4 documentation
