我们知道的东西是有限的,我们不知道的东西则是无穷的。----拉普拉斯
普拉斯算子
既然我们知道了二阶微分是对图像锐化处理的一大利器,我们本节就来讨论二阶微分在数字图像领域的实际应用。
拉普拉斯在就为我们定义了二阶微分形式,所以我们就直接把它拓展到二维图像
上:
因为任意阶微分都是线性操作,所以拉普拉斯变换也是一个线性算子。为了离散地表达这个共识,我们套用上一章的一个公式变换:
X方向:
Y方向:
综合一下:
有了公式,就容易得到基于拉普拉斯算子的模板:
它是以目标像素(x, y)为中心,90度方向上的上、下、左、右左拉普拉斯变换,当然我们也可以加上角度为45度,其含义就是以目标像素(x, y)为中心,四个对角线组成的拉普拉斯变换:
相同的道理,稍微变换一下公式的符号,就可以得到下面两种算子:
因为拉普拉斯是一种二阶微分算子,因此其强调的是图像中灰度的突变,并不强调图像的缓慢变换区域。这样一些渐变的浅灰色边线就会变成图片轮廓的背景色。如果我们想要保持原图像并且看到增强的边缘图像,可以把原图和拉普拉斯图像简单叠加。
套用以下公式:
为原图 为拉普拉斯处理后的图像 为处理的系数 为最终保持原图像并且增强边缘的图像
举个例子:
我们有一张模糊的月球图像
如果把改图经过拉普拉斯算子a处理后的图像是
之所以大部分是黑色,是因为处理后的负值都被映射到了0.那么我们如果把0值都重新标定成[0, L-1]中的一个数字呢?
嗯,还是不尽人意。我们如果用叠加公式处理一下,比如令
,然后同原图相加
这样就好多了,让我们重复这个步骤,再套用拉普拉斯算子锐化,然后再叠加原图:
这样就更清晰了。