二叉树（Binary Tree）
树（Tree）的基本概念有序树、无序树、森林二叉树（Binary Tree）二叉树的性质真二叉树（Proper Binary Tree）满二叉树（Full Binary Tree）完全二叉树（Complete Binary Tree）完全二叉树的性质面试题（完全二叉树）二叉树的遍历 + 练习题前序遍历（Preorder Traversal）中序遍历（Inorder Traversal）后序遍历（Postorder Traversal）层序遍历（Level Order Traversal）根据遍历结果重构二叉树前序遍历+中序遍历 重构二叉树四则运算表达式树练习翻转二叉树二叉树的最大深度数据结构与算法笔记目录：《恋上数据结构》 笔记目录
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如果你想看的是二叉树的代码实现，请看这个：二叉树代码实现
简单的看一下树形结构：
生活中的树形结构：
使用树形结构可以大大提高效率；树形结构是算法面试的重点；
树（Tree）的基本概念
节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点；
一棵树可以没有任何节点，称为空树一棵树可以只有 1 个节点，也就是只有根节点
子树、左子树、右子树；
节点的度（degree）：子树的个数；
树的度：所有节点度中的最大值；
叶子节点（leaf）：度为 0 的节点；
非叶子节点：度不为 0 的节点；
层数（level）：根节点在第 1 层，根节点的子节点在第 2 层，以此类推（有些教程也从第 0 层开始计算）
节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数；
节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数；
树的深度：所有节点深度中的最大值；
树的高度：所有节点高度中的最大值；
数的深度等于树的高度；
有序树、无序树、森林
有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系；
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为 “自由树”；
森林：由 m（m ≥ 0）棵互不相交的树组成的集合；
二叉树（Binary Tree）
二叉树的特点：
每个节点的度最大为 2（最多拥有 2 棵子树）左子树和右子树是有顺序的，二叉树是有序树即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树
二叉树的性质
非空二叉树的第 i 层，最多有 2i−1 个节点（ i ≥ 1 ）
在高度为 h 的二叉树上最多有 2h-1 个结点（ h ≥ 1 ）
对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为 2 的节点个数为n2，则有：n0 = n2 + 1
假设度为 1 的节点个数为n1，那么二叉树的节点总数n = n0 + n1 + n2二叉树的边数T=n1 + 2 * n2=n – 1=n0 + n1 + n2 – 1因此n0 = n2 + 1
真二叉树（Proper Binary Tree）
真二叉树：所有节点的度都要么为 0，要么为 2
下图不是真二叉树：
满二叉树（Full Binary Tree）
满二叉树：最后一层节点的度都为 0，其他节点的度都为 2
假设满二叉树的高度为 h（ h ≥ 1 ），那么
第 i 层的节点数量： 2i−1叶子节点数量： 2h−1总节点数量 nn = 2h − 1= 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−1 树高度与总节点的关系：h = log2(n + 1)
在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多；
满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树；
完全二叉树（Complete Binary Tree）
完全二叉树：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
完全二叉树的性质
度为 1 的节点只有左子树度为 1 的节点要么是 1 个，要么是 0 个同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小假设完全二叉树的高度为 h（ h ≥ 1 ），那么： 至少有 2h−1 个节点 （ 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−2 + 1 ）最多有 2h − 1 个节点（ 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−1，即满二叉树）总节点数量为 n2h−1 ≤ n < 2h
h − 1 ≤ log2n < h
h = floor( log2n ) + 1
（floor是向下取整，ceiling是向上取整 ）
下图不是完全二叉树：
面试题（完全二叉树）
国外教材的说法：了解一下
二叉树的遍历 + 练习题
遍历是数据结构中的常见操作：把所有元素都访问一遍；
线性数据结构的遍历比较简单：
正序遍历逆序遍历
根据节点访问顺序的不同，二叉树的常见遍历方式有 4 种：
前序遍历（Preorder Traversal）中序遍历（Inorder Traversal）后序遍历（Postorder Traversal）层序遍历（Level Order Traversal）
遍历的应用：
前序遍历：树状结构展示（注意左右子树的顺序）中序遍历：二叉搜索树的中序遍历按升序或者降序处理节点后序遍历：适用于一些先子后父的操作层序遍历：计算二叉树的高度、判断一棵树是否为完全二叉树
前序遍历（Preorder Traversal）
访问顺序：根节点、前序遍历左子树、前序遍历右子树
下图前序遍历的结果是：7、4、2、1、3、5、9、8、11、10、12
二叉树的前序遍历：https://leetcode-/problems/binary-tree-preorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;list.add(root.val);preorderTraversal(root.left);preorderTraversal(root.right);return list;}}
中序遍历（Inorder Traversal）
访问顺序：中序遍历左子树、根节点、中序遍历右子树
下图中序遍历的结果是：1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12
另一种中序遍历访问顺序：中序遍历右子树、根节点、中序遍历左子树
则下图的中序遍历的结果是：12、11、10、9、8 、7、5、4、3、2、1
二叉搜索树的中序遍历结果是升序或者降序的；
二叉树的中序遍历： https://leetcode-/problems/binary-tree-inorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;inorderTraversal(root.left);list.add(root.val);inorderTraversal(root.right);return list;}}
后序遍历（Postorder Traversal）
访问顺序：后序遍历左子树、后序遍历右子树、根节点
下图的后序遍历的结果是：1、3、2、5、4、8、10、12、11、9、7
二叉树的后序遍历： https://leetcode-/problems/binary-tree-postorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;postorderTraversal(root.left);postorderTraversal(root.right);list.add(root.val);return list;}}
层序遍历（Level Order Traversal）
访问顺序：从上到下、从左到右依次访问每一个节点
下图的层序遍历的结果是：7、4、9、2、5、8、11、1、3、10、12
二叉树的层次遍历： https://leetcode-/problems/binary-tree-level-order-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {List<List<Integer>> resList = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) return resList;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();int levelSize = 1;queue.offer(root);List<Integer> list = new ArrayList<>(); ;while(!queue.isEmpty()){TreeNode node = queue.poll();list.add(node.val);levelSize--;if(node.left != null){queue.offer(node.left);}if(node.right != null){queue.offer(node.right);}if(levelSize == 0){resList.add(list);levelSize = queue.size();list = new ArrayList<>();}}return resList;}}
根据遍历结果重构二叉树
以下结果可以保证重构出唯一的一棵二叉树：
前序遍历 +中序遍历后序遍历 +中序遍历
前序遍历 + 后序遍历：
如果它是一棵真二叉树（Proper Binary Tree），结果是唯一的不然结果不唯一
前序遍历+中序遍历 重构二叉树
四则运算
四则运算的表达式可以分为3种：
前缀表达式（prefix expression），又称为波兰表达式中缀表达式（infix expression）后缀表达式（postfix expression），又称为逆波兰表达式
表达式树
练习
翻转二叉树
226_翻转二叉树：https://leetcode-/problems/invert-binary-tree/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {public TreeNode invertTree(TreeNode root) {if(root == null) return root;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){TreeNode node = queue.poll();TreeNode treeNode = node.left;node.left = node.right;node.right = treeNode;if(node.left != null){queue.offer(node.left);}if(node.right != null){queue.offer(node.right);}}return root;}}
二叉树的最大深度
104_二叉树的最大深度：https://leetcode-/problems/maximum-depth-of-binary-tree/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*int val;*TreeNode left;*TreeNode right;*TreeNode(int x) { val = x; }* }*/class Solution {public int maxDepth(TreeNode root) {if(root == null) return 0;return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));}}
