谈谈数值分析中的插值（截断）误差 以牛顿法为例

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由于实际运算只能完成有限项或有限步运算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化，对无穷过程进行截断，这样产生的误差成为截断误差。

在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们需用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为截断误差，因为截断误差是数值计算方法固有的，因此又称方法误差。

例如，函数 可展开为无穷幂级数：

若取级数的起始若干项的部分和作为 时函数的近似计算公式，例如取 则由于它的第四项和之后的各项都舍弃了，自然就产生了误差。这就是由于阶段了无穷级数自第四项起的后段而产生的截断误差。作近似计算时，截断误差

又比如，我们在用不动点迭代或是牛顿迭代法求方程根时，要限定一个迭代次数，这个约束就是用截断误差来体现的：

def dx(f, x):return abs(0-f(x))def newtons_method(f, df, x0, e):delta = dx(f, x0)while delta > e:x0 = x0 - f(x0)/df(x0)delta = dx(f, x0)print 'Root is at: ', x0print 'f(x) at root is: ', f(x0)x0s = [0, .5, 1]for x0 in x0s:newtons_method(f, df, x0, 1e-5)

显然地，1e-5（科学计数法）就是在余项误差小于等于时，返回迭代获得值