本图文,观点比较新颖,讲解比较独到。我所推出的多种解法中,有的解法在网页上保证您查不到。对您拓展思路、创新思维大有裨益,是中考毕业班同学预习的好资料,也是中考毕业班教师教学的好参考。
四川内江中考
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点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点(不与A、C重合)连接BP,将BP绕B点顺时针旋转90°,得到BQ,直线PQ交BC于点E,交AD于点F。
(1)求证AP=CQ;
(2)若AP:PC=1:3,求CE:BE;
(3)求证PF=EQ。
第一问解析:
证明AP=CQ,凡是在旋转
情形下让证明线段相等,
通常利用什么?全等!
注意什么?两点:①旋转角,
②旋转后相等的线段。
追求目标
只要平时养成善于反思总结,
就能逐步达到一见题就有思路!
如本题,很快就想到通过证明
△BQC≌△BPA(SAS),
往下,就该快速形成卷面了。
如何快速形成卷面?
下文有详细讲解。
第二问解析:
求CE:BE,如何建立思路?
凡是让求线段的比,
首先要想到什么?
相似,平行,面积之比等。
以下,请您细看具体讲解,
掌握每种解法的精妙之处。
解法一:坐标法。
如下图,以点A为坐标原点,
建立平面直角坐标系。
先求出直线PQ解析式,
再求出点E的坐标,就知道
CE和BE各是多少了。
解法一
过点P作PG⊥AB于点G,
∵AP:PC=1:3,PG∥BC,
∴AG:GB=1:3。
故设点P坐标为
(p,p),p>0,
则正方形的边长为4p,
过点Q作QH⊥x轴于点H,
由Rt△BQH≌Rt△PBG知,
BH=PG=p,QH=BG=3p,
∴点Q坐标为(5p,3p)。
第二问的解法一
解法二:利用相似。
如图过点P作PG⊥AB于点G,
AP:PC=1:3,PG∥BC,
故AG:GB=1:3,设AG=p,
则GB=3p,
BP=BQ=根号10倍的p。
解法二
∵∠3=∠4=45°,∠2=∠2,
∴△BQE∽△BCQ,
解法二
解法三
解法三
解法三
解法四
解法四
如何找相似条件呢?
由三角形内角和知
∠CEP+∠2+∠6=180°
由平角定义知
∠APB+∠5+∠6=180°
以上两式中∠2=∠5=45°,
∴∠CEP=∠APB。
而∠2=∠3,
∴△CPE∽△ABP。
解法五:利用相似。
解法五
∠5=∠6=45°是成立的,
还需找一组对应角,
∠4=∠H不容易表述,不如
找∠7=∠8。
解法五
由三角形外角定义知:
∠7=∠3+∠9,
∠8=∠3+∠5,
而∠9=∠5=45°,
故∠7=∠8,结合∠5=∠6,
解法五
考场上,讲究的是快速拿下,别介意自己的方法是简是繁。只要写清步骤、字迹工整就行!本题第二问,我所推出的5种解法,保证您在任何网页查不到。
解法六:
估计网页上应该有这种解法。
辅助线如图,简要思路是:
解法六
由PC求出CN,
由PQ求出BM,
CN:BM=CE:BE。
第三问解析:求证PF=EQ。
思路一:
让求证中的PF和EQ分别和PE挂钩!
正方形中AF∥EC,
故PF:PE=AP:PC=1:3--①
如果能证出CQ:PE=1:3就行了!
过点Q作QL∥BC交AC的
延长线于点L,
思路一
则内错角∠2=∠4,
同位角∠3=∠L,
而∠2=∠3,
∴∠4=∠L,
故CL=CQ。
而AP=CQ已证,∴CL=AP。
∵AP:PC=1:3,
∴CL:PC=1:3。
∵QL∥EC,
∴EQ:PE=CL:PC=1:3--②
由①②知,PF=EQ。
思路二:利用全等。
作PM⊥DA于点M,
作QN⊥CB于点N,
则△PAM和△QCN均为
等腰直角三角形,且AP=CQ,
∴PM=QN。
思路二
由内错角和对顶角知∠2=∠4,
故Rt△PMF≌Rt△QNE(AAS),
∴PF=EQ。
思路三:利用全等。
思路三
过点Q作QR∥AC交CB于点R,
由内错角和对顶角知∠2=∠3,
又∠5=∠6=45°,
QR=CQ=AP,
∴△PAF≌△QRE(ASA),
故PF=EQ。
思路四:利用全等。
思路四
过点P作PS⊥FQ交AB于点S,
连接FS,则△PFS等腰直角。
进而再证明△APS≌△CQE或
△PSB≌△QEB。
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