四年级数学奥数思维训练
数列求和
学习目标
1.学会凑整配对，推导公式，换元化简三种思维方法.
2.锻炼和提升孩子的数学归纳和转化思想.
3.会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住
数列求和公式，获得熟练运用化繁为简规律的成就感.
重点：会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住数列求和公式。
难点：会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住数列求和公式。
探究案
一、题型、技巧归纳
题型一：山顶数列和
1+2+3+…+97+98+99+98+97+…+3+2+1=？
点播：
1.首尾配对发
（1）观察左边1~98，右边98~1，是两个对称的等差数列。
（2）用首尾配对法，得到1+98=99,2+97=99，……共有49个99，加上中间数99，共有99个99.
解析：
2.公式求和法
高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
解析：
巧找规律法：
1+2+3+2+1=9=3×3
1+2+3+4+3+2+1=16=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1==×
1+2+3+…+n+…+3+2+1=n的平方=n×n（n为山顶数）
左边数列如“上山”、“下山”排列，最大数如：“山顶”，取名山顶数列。
和=山顶数×山顶数
解：
题型二：去括号重组
（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）=( )
解析：原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988
=1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988）
=1+1×1988÷2
=1+994
=995
点播：去括号重组法：两两配好994对
题型三：等比数列和
1. 1+2+4+8+16+32+64+128+256=.
解析：原式=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256-1
=2+2+4+8+16+32+64+128+256-1
=4+4+8+16+32+64+128+256-1
=256×2-1
=512-1
=511
点播：加倍数列和有借有还法（借1减1）
2. 1+3+9+27+81+243+729+2187=
解析：
设原式1+3+9+27+81+243+729+2187=S ①
①3得3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561
②把②-①得2S=6561-1
则S=（6561-1）÷2=3280
点播：多倍数列和错位相减法（扩倍相减）
题型四：特殊数列和
1.
1+3+5=9=3×3
1+3+5+7=16=4×4
1+3+5+7+9==×
1+3+5+…+（2n-1）=n的平方=n×n（n为奇数个数）
点播：连续奇数数列：求和=
2.
2+4+6=12=3的平方+3
2+4+6+8=20=4的平方+4
2+4+6+8+10=30=5的平方+5
2+4+6+…+2n=n的平方+n（n为偶数个数）
点播：连续偶数数列：
求和=n的平方+n
二、本节总结
熟练掌握化繁为简的规律
1.“山顶数列”求和，和=n的平方
高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
2.去括号重组法：两两配好994对
3.多倍数列和错位相减法（扩倍相减）
4.连续奇数数列：求和=n的平方
5.连续偶数数列：求和=n的平方+n
随堂检测
1.计算
1+11+21+…+391+401
1+2+3+4+…+199+200
2.合理分组能简算
1-2+3-4+5-…-98+99
（1+2+3+4+…+999+1000）-（2+4+6+…+996+998）
3. 用“山顶数列”求和进行计算
2+3+4+…+109+110+109+…+4+3+2+1=
4. 求1~100中所有偶数的和
5. 求1~100中所有奇数的和
参考答案
随堂检测
1.8241
2.50251000
3.12099
4.2550
5.2500
