四年级数学奥数思维训练
数列求和
学习目标
1.学会凑整配对,推导公式,换元化简三种思维方法.
2.锻炼和提升孩子的数学归纳和转化思想.
3.会观察数列规律,能快速巧算数列之和,能记住
数列求和公式,获得熟练运用化繁为简规律的成就感.
重点:会观察数列规律,能快速巧算数列之和,能记住数列求和公式。
难点:会观察数列规律,能快速巧算数列之和,能记住数列求和公式。
探究案
一、题型、技巧归纳
题型一:山顶数列和
1+2+3+…+97+98+99+98+97+…+3+2+1=?
点播:
1.首尾配对发
(1)观察左边1~98,右边98~1,是两个对称的等差数列。
(2)用首尾配对法,得到1+98=99,2+97=99,……共有49个99,加上中间数99,共有99个99.
解析:
2.公式求和法
高斯求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2
解析:
巧找规律法:
1+2+3+2+1=9=3×3
1+2+3+4+3+2+1=16=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1==×
1+2+3+…+n+…+3+2+1=n的平方=n×n(n为山顶数)
左边数列如“上山”、“下山”排列,最大数如:“山顶”,取名山顶数列。
和=山顶数×山顶数
解:
题型二:去括号重组
(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)=( )
解析:原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988
=1+(3-2)+(5-4)+…+(1989-1988)
=1+1×1988÷2
=1+994
=995
点播:去括号重组法:两两配好994对
题型三:等比数列和
1. 1+2+4+8+16+32+64+128+256=.
解析:原式=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256-1
=2+2+4+8+16+32+64+128+256-1
=4+4+8+16+32+64+128+256-1
=256×2-1
=512-1
=511
点播:加倍数列和有借有还法(借1减1)
2. 1+3+9+27+81+243+729+2187=
解析:
设原式1+3+9+27+81+243+729+2187=S ①
①3得3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561
②把②-①得2S=6561-1
则S=(6561-1)÷2=3280
点播:多倍数列和错位相减法(扩倍相减)
题型四:特殊数列和
1.
1+3+5=9=3×3
1+3+5+7=16=4×4
1+3+5+7+9==×
1+3+5+…+(2n-1)=n的平方=n×n(n为奇数个数)
点播:连续奇数数列:求和=
2.
2+4+6=12=3的平方+3
2+4+6+8=20=4的平方+4
2+4+6+8+10=30=5的平方+5
2+4+6+…+2n=n的平方+n(n为偶数个数)
点播:连续偶数数列:
求和=n的平方+n
二、本节总结
熟练掌握化繁为简的规律
1.“山顶数列”求和,和=n的平方
高斯求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2
2.去括号重组法:两两配好994对
3.多倍数列和错位相减法(扩倍相减)
4.连续奇数数列:求和=n的平方
5.连续偶数数列:求和=n的平方+n
随堂检测
1.计算
1+11+21+…+391+401
1+2+3+4+…+199+200
2.合理分组能简算
1-2+3-4+5-…-98+99
(1+2+3+4+…+999+1000)-(2+4+6+…+996+998)
3. 用“山顶数列”求和进行计算
2+3+4+…+109+110+109+…+4+3+2+1=
4. 求1~100中所有偶数的和
5. 求1~100中所有奇数的和
参考答案
随堂检测
1.8241
2.50251000
3.12099
4.2550
5.2500