前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数,求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。
1.二项式分布与似然值估计公式
二项分布基本公式求发生某件事情的概率:
如在人们对两种口味饮料无偏好时,即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,喜欢葡萄口味的概率p=0.5,那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下:
似然值公式求某件事发生的环境概率:
如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料,在人们对两种口味饮料无偏好时,也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5,那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下:
二项式分布公式与似然值公式的异同:
相同点:等式左边的写法是一样的;
不同点:
等式右边,“|”右侧的固定条件不同,也就是已知条件不同。在二项式分布公式中,固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中,固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同,在二项式公式中,变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味;在似然值公式中,变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。
通过对比,能知道似然值与分布公式的重要意义:似然值公式是通过已发生的事件,推导产生该事件环境的可能性;而分布公式是已知环境,推导该环境下发生某件事的概率。
2.最大似然法求解二项式分布参数
「二项式分布的似然值:」用似然法估计二项式分布的参数,即我们需要计算不同p值时对应的似然值。
如下方程的含义为:在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.5时的似然值为0.273;
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.25时的似然值为0.058;
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.57时的似然值为0.294。
p值的取值范围是[0,1],将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线,当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。
「因为在似然值曲线的峰值时,该p值对应的似然值最大,故可将其转化成数学问题,求解二项式分布的导数为0时,p的取值。」
为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:
函数求导并简化方程:
令导数=0,求解p:
当p=4/7=0.57时,取得最大似然值。故得出结论,当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时,发生4个人喜欢香橙口味,3个人喜欢葡萄口味的概率最大。
任意情况下,最大似然值估计二项式分布参数
问题:已知任意n个人中,任意x人喜欢香橙口味时,探究该二项式分布中最有可能的p值。
求解方法同前,依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终,得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。
为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:
↓
因不论n与x的取值,当斜率=0(导数=0)时,该处对应的似然值最大。
令导数=0,求解p:
得出结论:得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大,即n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。
小结
通过前面几期的深入学习,使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理,让最大似然法不再陌生。继续加油~~~