点击右上角关注“良师益友谈育儿”分享学习经验,一起畅游快乐的学习生活。
二次函数是数学中考的难点,与二次函数相关的题型也很多,本文就例题详细讲解二次函数中的翻转问题的解题思路,在复习应考的最后阶段,希望能给考生们带来帮助。
例题
已知关于x的一元二次方程x+2x+(k-1)/2=0有两个不相等的实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x+2x+(k-1)/2的图象交于A、B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标;
(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=1/2x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值。
1、求k的值
根据一元二次方程根的判定条件和题目中的条件:x+2x+(k-1)/2=0有两个不相等的实数根,则△=2-4*(k-1)/2=6-2k>0,即k<3。
根据题目中的条件和结论:k<3,k为正整数,则k=1或2。
2、求线段MN的最大值及此时点M的坐标
根据题目中的条件:方程有一根为零,则x=0代入方程能使等式成立,即k=1。
根据结论:k=1,则二次函数的表达式为:y=x+2x。
根据条件:直线y=x+2与抛物线y=x+2x交于A、B两点,则可解得两点坐标为(-2,0)、(1,3)。
设M点横坐标为a,则N点横坐标为a
根据题目中的条件:点M在线段AB上,也在直线y=x+2上,则可求得点M的纵坐标为a+2,即M点坐标为(a,a+2)且a的取值范围为:-2<a<1。
根据题目中的条件:点N在抛物线y=x+2x上,则可求得点N的纵坐标为a+2a,即N点坐标为(a,a+2a)。
根据两点间的距离公式和结论:M(a,a+2),N(a,a+2a),M点在N点的上方,则MN= (a+2)- (a+2a)= - a-a+2。
根据二次函数的最值条件和结论:对于二次函数y=ax+bx+c,当x=-b/2a时y取到最值,当-b/2a 不在x的取值范围里,则在x取值范围的两个端点取到y的最值,MN= - a-a+2,-2<a<1,则a=-1/2,即M点坐标为(-1/2,3/2)时,MN取到最大值9/4。
3、求b的值
根据翻转后抛物线与原抛物线的关系和题目中的条件和结论:翻转后的抛物线与原抛物线的关系为开口相反、对称轴相同且与y轴交点相同,原抛物线的函数表达式为y=x+2x,则翻转后抛物线的函数表达式为y=-x-2x。
根据题目中的条件:直线y=1/2x+b与该新图象恰好有三个公共点,则存在两种可能:
(1)当直线经过A点时,如图所示
直线y=1/2x+b与原抛物线y=x+2x有两个交点,与翻转后的抛物线y=-x-2x有两个交点,且其中一个交点重合,即为A点,则直线与新图像有三个公共点;
根据题目中的结论: A点在直线y=1/2x+b上,A(-2,0),则A点坐标代入直线的表达式能使等号成立,即0=1/2*(-2)+b,可解得b=1。
(2)当直线不经过A点时,如图所示
直线y=1/2x+b与原抛物线y=x+2x有两个交点,与翻转后的抛物线y=-x-2x有两个相同的交点,则直线与新图像有三个公共点;
根据结论:直线y=1/2x+b与翻转后的抛物线y=-x-2x有两个相同的交点,则关于x的一元二次方程1/2x+b=-x-2x有两个相同的解,即△=(5/2)-4b=0,可解得b=25/16。
所以,b=1或25/16时,即直线y=1/2x+1或y=1/2x+25/16与新图象恰好有三个公共点。
结语
二次函数的翻转问题的解题思路:
根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式;
根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系,确定新抛物线的表达式;
在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图,根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性;
根据图像及相关函数表达式进行计算,求得题目中需要求解的值。