全等三角形动点问题有的时候会作为初二期末的压轴题，作为压轴题难度也是非常难的，是拉开档次的题目存在，作为中考的热门考点，今天我们继前一篇的动点专题基础篇、提高篇的基础上，进行难度进阶，希望同学们认真分析解题思路，总结出解题方法，不断提高。
例1. 如图1，已知C是线段AB的中点，过点C作AB的垂线CN，在射线CN上有一动点P（不与C重合），连接PB，过点A作PB的垂线，垂足为D，在射线AD上取点E，使得AE=BP，已知∠CPB=α，AB=8，（1）当α=15°时，求∠BAE的度数.（2）过E作EF⊥AB于F，在点P的运动过程中，α的大小随点P的运动而变化，在这个变化过程中线段EF的长度是否发生变化？若不变求出EF的长，若变化，说明理由.（3）如图2，当0°<α<45°时，设直线PE与直线AB相交于点G，求∠G的度数.
【解析】解：（1）∵PC⊥AB，AD⊥PB，∴∠B+∠BAE=90°，α+∠B=90°，
∴∠BAE=α=15°；
（2）线段EF的长度不变，EF=4，理由如下，由（1）知，∠FAE=∠BPC，
∵EF⊥AB，PC⊥AB，∴∠EFA=∠BCP=90°，
∵AE=BP，∴△EFA≌△BCP，∴EF=BC，∵C是AB中点，
∴BC=1/2AB=4.即EF=4，长度不变.
（3）连接PA，PE并延长交直线AB于点G，
∵C是AB中点，PC⊥AB，∴PC是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB=AE，∴∠APC=∠CPB=∠EAG，∠APG=2∠APC+∠BPG，
∵∠PEA=∠EAG+∠EGA=∠BPC+∠EGA，∠PEA=∠APE=2∠BPC+∠BPG，
∴∠EGA=∠BPC+∠BPG=∠CPG，∵PC⊥AB，∴∠EGA=45°.
例2.如图，在△ABC中，∠A<∠C，BD⊥AC，垂足为D，点E是BC边上的一个动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB的延长线于点F，连接DF交BC于点G，（1）请根据题意补全示意图；（2）当△ABD和△DEF全等时，①若AD=FE，∠A=30°，∠AFD=40°，求∠C的度数；②探究GF、AF、DF之间的数量关系，并说明理由.
【解析】解：（1）如图所示.
（2）①∵△ABD与△DEF全等，∴AB=DF，
∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵AD=EF，∴∠ABD=∠EDF，BD=DE，∴∠ABD=90°－∠A=60°=∠EDF，
∴∠ABD=∠BDF+∠AFD，∠AFD=40°，∴∠BDF=20°，∴∠BDE=80°，
∴∠BED=∠DBE=50°，在Rt△BCD中，∠C=90°－∠DBE=40°；
②GF+DF=AF，理由如下，∵AB=DF，（i）若BD=DE，∵△ABD与△DEF全等，∴∠ABD=∠FDE，∵BD=DE，∴∠BED=∠DBE，∴∠FBG=180°－∠ABD－∠DBE，
∵∠DGE=180°－∠FDE－∠DEB，∴∠FBG=∠DGE，∵∠DGE=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，
∴FB=FG，∴AF=AB+BF=DF+GF；
（ii）若AD=DE，延长FE交AC于H，在CD上截取DI=DE，连接BI，
∵DE⊥FH，∴DH>DE，∵AD=DE=DI，BD⊥AI，∴BD平分∠ABI，∠A=∠BID，AB=BI，
∵∠BID=∠C+∠IBC>∠C，∴∠A>∠C，与题意不符.
综上所述，AF=DF+FG.
例3. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E.（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当D、E两点在直线BC的异侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（3）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P从点B出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动；点P和点Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，只要有一个点到达终点时两点同时停止运动，在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G. 问：点P运动多少秒时，△PFA和△QAG全等？
【解析】解：（1）DE=BD+CE，理由如下，
∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠EAC=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ACE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠ACE，
∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴CE=AD，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD；
（2）DE=CE－BD，理由如下，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠EAC=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ACE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴CE=AD，BD=AE，
∴DE=AD－AE=CE－BD；
（3）设运动时间为t，①当0≤t<28/3时，如下图所示，
当AP=AQ时，△PFA≌△AGQ，即22－2t=28－3t，解得：t=6；
②当28/3≤t<11时，如下图所示，
当P与Q重合时，△PFA≌△QGA，即AP=AQ，22－2t=3t－28，解得：t=10；
③当11≤t≤50/3时，如下图所示，
当AP=AQ时，△PFA≌△AGQ，即2t－22=3t－28，解得：t=6（不合题意，舍去）；
综上所述，当点P运动6秒、10秒时，△PFA和△QAG全等.
