数轴上的动点问题，是七年级非常重要的问题，这个知识比较综合，也比较抽象，是一类极为常见且重要的综合题。
解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和各个动点的位置变化，然后再根据运动过程画出图形展开分类讨论，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。
对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路。一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，也就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列出方程。
类型1 数轴上的规律探究问题
方法：用由特殊到一般的思想
例1．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，这样第_____次移动到的点到原点的距离为。
【分析】：本题考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究。对这列数的奇数项、偶数项的规律分别进行探究，是解决这道题的关键。
根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．
【解答】：
第1次从点A向左移动3个单位至点B，则B表示为：1﹣3=﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位至点C，则C表示为：﹣2+6=4；
第3次从点C向左移动9个单位至点D，则D表示为：4﹣9=﹣5；
第4次从点D向右移动12个单位至点E，则点E表示为﹣5+12=7；
第5次从点E向左移动15个单位至点F，则F表示为7﹣15=﹣8；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：-（3n+1）/2，当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+2）/2。
①当移动次数n为奇数时，-（3n+1）/2=﹣，n=1345，
②当移动次数n为偶数时，（3n+2）/2=，n=4034/3（不合题意）。
故答案为：1345。
类型2 数轴上的两点距离问题
方法：用分类讨论及数形结合思想
例2．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度。点P、Q是数轴上两个动点；
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离。解题时，需要采用“分类讨论”的数学思想。
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边。进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解。
【解答】（1）﹣3+4=1．故点N所对应的数是1；
（2）（5﹣4）÷2=0.5，①﹣3﹣0.5=﹣3.5，②1+0.5=1.5．
故点P所对应的数是﹣3.5或1.5．
（3）解法1：抓住等量关系：PQ=2列式求解。
设点P出发了t秒，则P：-3-2t；Q：1-3（t-5）=16-3t。
①Q未追上P时PQ=2，则（16-3t）-（-3-2t）=2。解得t=12。所以点P对应的数是﹣3﹣17×2=﹣37，点Q对应的数是16﹣3×17=﹣35；
②Q超过P后PQ=2，则（-3-2t）-（16-3t）=2。解得t=21。所以点P对应的数是﹣3﹣21×2=﹣45，点Q对应的数是16﹣3×21=﹣47。
解法2：抓住等量关系：追的时间=追的路程/速度差来列式求解。
①Q未追上P时两点距离为2，点Q出发时间为：
（4﹣2+2×5）÷（3﹣2）=12÷1=12（秒），
所以点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37，点Q对应的数是﹣37+2=﹣35；
②Q超过P后两点距离为2，点Q出发时间为：
（4+2+2×5）÷（3﹣2）=16÷1=16（秒）；
所以点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47。
类型3 数轴上的行程问题
方法：画图分析寻找等量关系
例3．如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变）。已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒。
（1）已知MN=100米，若B先从点M出发，当MB=5米时A从点M出发，A出发后经过_______秒与B第一次重合；
（2）已知MN=100米，若A、B同时从点M出发，经过_______秒A与B第一次重合；
（3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且EF=20米，设MN=s米，列方程求s．
【分析】本题考查了方程的应用和数形结合思想，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。
（1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合，根据等量关系：路程差=速度差×时间，列出方程求解即可；
（2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和=速度和×时间，列出方程求解即可；
（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN，MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN，根据EF=20米，列出方程求解即可。
【解答】（1）设A出发后经过x秒与B第一次重合，依题意有
（3﹣2）x=5，解得x=5。答：A出发后经过5秒与B第一次重合；
（2）设经过y秒A与B第一次重合，依题意有（3+2）x=100×2，
解得x=40。答：经过40秒A与B第一次重合；
（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2MN×2/(3+2)=4MN/5，MF=2MN﹣4MN×2/(3+2)=2/5MN，依题意有：4/5×s﹣2/5 ×s=20，解得s=50．答：s=50米。
类型4 数轴上的新定义问题
方法：转化，方程及分类思想
例4．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{ A，B }的奇点。例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1。表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{ A，B }的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B }的奇点，但点D是{B，A}的奇点。
【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5。
（1）数______所表示的点是{ M，N}的奇点；数_______所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30。现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止。P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果。
（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；
（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；可以得出结论。
【解答】（1）5﹣（﹣3）=8，8÷（3+1）=2，5﹣2=3；﹣3+2=﹣1。故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点。
故答案为：3；﹣1。
（2）30﹣（﹣50）=80，80÷（3+1）=20，30﹣20=10，﹣50+20=﹣30。
故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点。
数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化。在解决动点问题时，首先遇到的第一个困难就是分析不出动点的运动过程，空间想象力和逻辑分析能力都显得不够，而在解题时，尤其是在考试过程中遇到动点问题，我的建议是多动手，多画几个运动过程中的图形，对于多个不同的运动时刻，按次序画出多个图形进行比较，往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程，从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备。比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形，通过观察比较寻找运动规律，而对动点运动时的一些特殊位置，比如两点重合，或者某一点到达一个特殊位置等，更需要画出图形，这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程，然后就可以根据不同情况进行分类讨论，寻找等量关系列方程计算。这一步骤的关键是用代数式表示图形中的各量，主要是图中的各条线段长，最后寻找各线段之间的等量关系，列出方程求解。
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