问题补充:
解答题已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x+1)(a∈R)
(I)若当x∈[1,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(II)求函数的单调区间.
答案:
解:x>0,f′(x)=lnx+-a.
(I)f′(x)>0恒成立,即a<lnx++1(x≥1)恒成立,
令h(x)=lnx++1,则h′(x)=≥0,
∴h(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴当x∈[1,+∞)时,h(x)最小值=h(1)=2,
故a<2.
(II)g(x)=f′(x)-=lnx+-a-=lnx++1-a,
g′(x)=,
当a≥1时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上递增;
当a<1时,g′(x)=0,得x=1-a,
x∈(0,1-a)时,g′(x)<0函数g(x)在(0,+∞)上递减;
x∈(1-a,+∞)时,g′(x)>0函数g(x)在(0,+∞)上递增;
故函数的单调区间为:
当a≥1时,函数g(x)递增区间为:(0,+∞);
当a<1时,函数g(x)递增区间为:(1-a,+∞);函数g(x)递减区间为:(0,1-a).解析分析:(I)先求出导函数.再由f′(x)>0恒成立,分离参数得a<lnx++1(x≥1)恒成立,令h(x)=lnx++1,利用导数研究其最值,从而解决问题;(II)先写出函数g(x)的解析式,再求出导数g′(x)=,下面对a进行分类讨论:当a≥1时,当a<1时,结合导数工具研究其单调区间即可.点评:本题考查函数的单调性与其导数的关系、利用导数研究函数的单调性,注意解题时要先分析函数的定义域.