问题补充:
解答题定义:,若已知函数(a>0且a≠1)满足f(1)=.
(1)解不等式:f(x)≤2;
(2)若f(2t)+mf(t)+4≥0对于任意正实数t恒成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)由题意,f(1)=a-=,∴a=2或-(舍),…(1分)
当x>0时,f(x)=≥2,∵f(x)=≤2,∴=2,∴,∴x=0;
∵x>0,∴无解,…(3分)
当x=0时,f(0)=20-=1≤2,∴x=0,…(4分)
当x<0时,f(x)=2x-=2x+1≤2,∴x≤0,
因为x<0,所以x<0,…(6分)
综上所述,不等式的解集为(-∞,0].…(7分)
(2)因为t>0,所以f(t)=2t+,f(2t)=22t+,
∴f(2t)+mf(t)+4=22t++m(2t+)+4≥0恒成立,…(8分)
令u=2t+(t>0)∈[2,+∞),…(9分)
则22t++m(2t+)+4=u2-2+mu+4=u2+mu+2≥0恒成立,
∴m≥-(u+)(u∈[2,+∞))恒成立,
∴m≥[-(u+)]max(u∈[2,+∞)),…(11分)
∵y=-(u+)在[2,+∞)上单调递减,…(12分)
∴[-(u+)]max(u∈[2,+∞))=-3,…(13分)
综上所述,m≥-3.…(14分)解析分析:(1)根据f(1)=,可求a的值,根据所给定义,分类讨论化简函数,分别解不等式,即可得到结论;(2)表示出相应函数,将不等式等价变形,利用换元法,再分离参数,利用函数的单调性,确定函数的最值,即可求得实数m的取值范围.点评:本题考查解不等式,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,考查函数的单调性,解题的关键是确定函数的解析式.