问题补充:
解答题已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx.a∈R.
(Ⅰ)当时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在不等式组所表示的区域内,求a的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)(x>0),
,
当0<x<2时,f(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增;
当x>2时,f(x)<0,f(x)在(0,2)上单调递减;
所以函数的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).?
(Ⅱ)由题意得a(x-1)2+lnx≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,
设g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1,x∈[1,+∞),则有g(x)max≤0,x∈[1,+∞)成立.
求导得,
①当a≤0时,若x>1,则g(x)<0,所以g(x)在[1,+∞)单调递减,g(x)max=g(1)=0≤0成立,得a≤0;
②当时,,g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,所以存在x>1,使g(x)>g(1)=0,此时不成立;????
③当,,
则存在,有,所以不成立;
综上得a≤0.解析分析:(Ⅰ)a=-时求出f′(x),在定义域内解不等式f(x)>0,f(x)<0即可;(Ⅱ)由题意得a(x-1)2+lnx≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,设g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1,x∈[1,+∞),则问题等价于g(x)max≤0,x∈[1,+∞)成立,求导数g′(x),按照a的范围分类进行讨论可得g(x)的单调性,根据单调性可得g(x)的最大值,由最大值情况即可求得a的范围;点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查恒成立问题,考查分类讨论思想,恒成立问题往往转化为函数最值解决,解决(Ⅱ)问的关键是正确理解题意并能合理进行转化.