问题补充:
解答题已知f(x)=x2,g(x)=lnx,直线l:y=kx+b(常数k、b∈R)使得函数y=f(x)的图象在直线l的上方,同时函数y=g(x)的图象在直线l的下方,即对定义域内任意x,lnx<kx+b<x2恒成立.
试证明:
(1)k>0,且-lnk-1<b<-;
(2)“<k<e”是“lnx<kx+b<x2”成立的充分不必要条件.
答案:
解:(1)根据题意,得
对任意x,lnx<kx+b,所以k>…(1分),
因为k、b是常数,所以当x充分大时,lnx>b,
从而k>>0…(2分).
因为kx+b<x2即x2-kx-b>0恒成立,
所以△=(-k)2+4b<0,得b<-…(4分).
因为lnx<kx+b即kx+b-lnx>0恒成立,
设h(x)=kx+b-lnx,则h(x)=k-…(5分),
由h(x)=0得x=>0,
∴0<x<时,h(x)<0,h(x)单调递减;x>时时,h(x)<0,h(x)单调递增…(7分),
所以h(x)的极小值从而也是最小值为h=1+b-ln=1+b+lnk…(8分),
因为kx+b-lnx>0恒成立,所以h=1+b+lnk>0,即b>-lnk-1,从而-lnk-1<b<-成立;…(9分).
(2)由(1)知-lnk-1<-,从而<lnk+1,其中k是正数…(10分),
如图,根据幂函数与对数函数单调性,
可得k应介于曲线f(x)=x2与g(x)=lnx的两个交点的横坐标之间,
设这两个交点横坐标分别为x1、x2,且x1<x2.…(11分),
因为k=时,<=lnk+1,k=e时,=<2=lnk+1…(13分),
所以(,e)是(x1,x2)的真子集,
由此可得:“<k<e”是“lnx<kx+b<x2”成立的充分不必要条件.…(14分).解析分析:(1)由lnx<kx+b恒成立,结合对数函数的性质,得k>0.由kx+b<x2恒成立,结合根的判别式可得b<-.再根据lnx<kx+b恒成立,讨论讨论函数h(x)=kx+b-lnx的单调性与最小值,得到h=1+b+lnk>0,从而得原不等式成立.(2)根据幂函数与对数函数单调性,可得k应介于曲线f(x)=x2与g(x)=lnx的两个交点的横坐标之间.通过计算比较f与g、f(e)与g(e)的大小,可得区间(,e)恰好位于两交点横坐标之间,从而证出本题的充分不必要条件.点评:本题给出介于两个函数图象之间的一条线段对应的函数,求证参数的取值范围并证明充分条件,着重考查了基本初等函数、利用导数研究函数的单调性与最值和充分必要条件的证明等知识,属于中档题.