问题补充:
解答题已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调减区间;
(2)若不等式|f(x)-m|<1对任意恒成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)∵sinxcosx=sin2x,cos2x=(1+cos2x)
∴f(x)=
=sin2x-(1+cos2x)-=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z
∴函数f(x)的单调减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z
(2)不等式|f(x)-m|<1,即-1+m<f(x)<1+m
∵,得2x-∈[-,]
∴-1≤sin(2x-)≤,得f(x)=sin(2x-)-1∈[-2,-]
∵不等式|f(x)-m|<1,对任意恒成立
∴-2≥-1+m且1+m≥-,解之得-≤m≤-1
即实数m的取值范围是[-,-1].解析分析:(1)根据二倍角三角函数公式和辅助角公式,将函数化简整理得f(x)=sin(2x-)-1,结合正弦函数单调区间的公式,解不等式即可得到函数f(x)的单调减区间;(2)设不等式|f(x)-m|<1的解集合是M,函数f(x)=sin(2x-)-1在区间上的值域N,可得N是M的子集,由此建立关于m的不等式,解之即可得到实数m的取值范围.点评:本题给出三角函数式,要求我们将其化简成标准形式,并求函数的减区间,着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.