问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0)
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间上的最值;
(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.
答案:
解:(1)∵f(x)=ax2-3x+lnx(a>0),
∴f′(x)=2ax-3+,x>0
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
∴k=2a-2=0,∴a=1,
∴f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+,x>0,
令f′(x)=2x-3+<0,可得<x<1;令f′(x)>0,可得0<x<或x>1;
∴函数f(x)的单调减区间为[,1),单调增区间为(1,+∞),
当在区间时.∴f(x)在区间[,1]上为增函数,f(x)在区间[1,2]上为增函数.(4分)
∴fmax(x)=f(2)=-2+ln2,fmin(x)=f(1)=-2.(6分)
(2)原函数定义域为(0,+∞)
∴f′(x)=2ax-3+=,∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,
∴f(x)≤0或f(x)≥0在(0,+∞)恒成立
由于a>0,设g(x)=2ax2-3x+1(x∈(0,+∞))
由题意知△=9-8a≤0
∴a≥
所以a的取值范围为:a≥.(12分)解析分析:(1)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,可求a的值,令f′(x)<0,可得函数f(x)的单调减区间;令f′(x)>0,可得单调增区间;然后确定函数的极值,最后比较极值与端点值的大小,从而确定函数的最大和最小值.(2)要保证原函数在定义内单调,需保证其导函数在定义域上不变号,分类讨论,从而求得参数的范围.点评:本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,导数中常见的恒成立问题,属中档题.