问题补充:
已知函数f(x)=ln?x-ax???(a∈R,a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
答案:
解???(1)函数f(x)的定义域?为(0,+∞).
f′(x)=-a=??????????????????????????????????????????(2分)
因为a>0,令f′(x)=-a=0,可得x=;
当0<x<时,f′(x)=>0;当x>时,f′(x)=<0,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).(4分)
(2)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在(1,)上是增函数,在(,2)上是减函数.
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=-a;
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)
解析分析:(1)求出导函数f′(x)=-a,并且解出它的零点x=,再分区间(0,)和(,+∞)上讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;(2)分a≥1、0<a≤和<a<1三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.
点评:本题给出含有对数的函数,讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最小值,着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上最值求法等知识,属于中档题.
已知函数f(x)=ln?x-ax???(a∈R a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1 2]上的最小值.