问题补充:
已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)?f(x-y)},x,y∈R,有下列命题:
①若则f1(x)∈M;
②若f2(x)=sinx,则f2(x)∈M;
③若f(x)∈M,y=f(x)的图象关于原点对称;
④若f(x)∈M,则对任意不等的实数x1、x2,总有;
⑤若f(x)∈M,则对任意的实数x1、x2,总有.
其中是正确的命题有________.(写出所有正确命题的编号)
答案:
②③
解析分析:通过举反例,判断出①错;通过三角函数的和差公式判断出②对;通过给x,y赋值及奇函数的定义判断出③对;通过举反例,判断出④错;通过举反例判断出⑤错.
解答:对于①令x≥y≥0,f2(x)-f2(y)=0而f(x+y)f(x-y)=1,则易知①是错误的;对于②f2(x)-f2(y)=sin2x-sin2y,f(x+y)f(x-y)=sin2x-sin2y有②f2(x)-f2(y)=f(x+y)f(x-y)故②是正确的;对于③令x=y=0可得f(0)=0;再令x=0,有f2(0)-f2(y)=f(y)f(-y)即f(y)((fy)+f(-y))=0则有f(y)=0或f(-y)=-f(y),因此f(x)为奇函数,故③正确;令f(x)=sinx∈M但f(x)在R上不具备单调性,故④错,同样借助f(x)=sinx的图象,验证⑤不正确故
已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)?f(x-y)} x y∈R 有下列命题:①若则f1(x)∈M;②若f2(x)=sinx 则f2(x)∈M