问题补充:
小明参加汽车驾驶培训,在实际操作考试时,被要求进行启动加速、匀速运行、制动减速三个连贯过程,在加速和减速运动过程中,路程和速度均满足关系s=,v0为加速或减速的起始速度,加速时a为正,减速时a为负,匀速时a=0,加速或减速t秒后的瞬时速度v=v0+at,小明在操作中瞬时速度v与时间t的关系如图所示,其中OA为匀加速,AB为匀速,BC为匀减速.
(1)若减速过程与加速过程完全相反,即BC与OA关于AB的中垂线成轴对称,求BC的解析式.
(2)当0≤t≤300时,求汽车行驶的路程s与时间t的函数关系式.
(3)汽车行驶t秒后,
①若经途中D点,过点D作垂线交AB于点E,试证明汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积.
②若汽车行驶至M点,过点M做垂线交BC于点N,汽车行驶的路程是否等于五边形OABNM的面积呢?试说明理由.
答案:
(1)解:∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称,
∴点C的坐标为(500,0),
设BC的解析式为y=kt+b,
把点B(300,120),(500,0)代入得,
,
解得,
所以,BC的解析式为y=-t+300(300≤t≤500);
(2)解:∵200秒时的速度为120,
∴0+200a=120,
解得a=0.6,
∴①0≤t≤200时,S=0?t+at2=×0.6×t2=0.3t2;
②200<t≤300时,S=0.3×2002+120(t-200)=120t-12000;
(3)证明:①汽车经途中D点时,S=120t-12000,
此时,AE=t-200,OD=t,
∴四边形OAED的面积=(t-200+t)×120=120t-12000,
∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积;
②∵从300秒时开始减速,
∴运动至点M时,瞬时速度y=120+a(t-300),
运动至M点,S=120×300-12000+120(t-300)+a(t-300)2,
=a(t-300)2+120(t-300)+24000,
∵AB=300-200=100,
五边形OABNM的面积=(100+300)×120+[120+a(t-300)+120]×(t-300),
=24000+a(t-300)2+120(t-300),
所以,汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积.
解析分析:(1)根据轴对称的性质求出点C的坐标,再设BC的解析式为y=kt+b,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;
(2)先根据200秒时的瞬时速度求出a,再分0≤t≤200时,为匀加速运动,200<t≤300时为匀速运动两段分别进行求解即可;
(3)①根据(2)求出行驶的路程,再求出AE、OD的长,然后利用梯形的面积公式列式计算,即可得证;
②先求出运动至点M时的路程,再根据瞬时速度公式求出运动至点M时的速度,然后根据五边形OABNM的面积等于两个梯形的面积之和求出五边形的面积,即可得解.
点评:本题考查了二次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,轴对称的性质,读懂题目信息,理解并列出加速时运动的路程是解题的关键,要注意加速和减速运动过程中的瞬时速度与加速和减速行驶的路程,要从开始加速和开始减速开始计时,这也是本题比较难理解的地方.
小明参加汽车驾驶培训 在实际操作考试时 被要求进行启动加速 匀速运行 制动减速三个连贯过程 在加速和减速运动过程中 路程和速度均满足关系s= v0为加速或减速的起始速