问题补充:
已知:二次函数y=ax2+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A,将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B.
(1)若B点在已知的二次函数的图象上,求a的值;
(2)在(1)的条件下,设二次函数图象的顶点为C,判断直线OC与△AOB的外接圆位置关系.
答案:
解:(1)∵y=ax2+2ax=ax(x+2),
∴当y=0时,ax(x+2)=0,
解得:x=0或x=-2,
∵二次函数y=ax2+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A,
∴点A(-2,0),
即OA=2,
∵将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B.
∴∠AOB=120°,OB=OA=2,
∴∠BOD=30°,
过点B作BD⊥y轴于点D,
∴BD=OB=1,OD=OB=,
∴点B的坐标为(1,),
∵B点在已知的二次函数的图象上,
∴a+2a=,
解得:a=;
(2)直线OC与△AOB的外接圆相切.
理由:设OB的中点为F,过点F作EF⊥OB交AO的垂直平分线于点E,连接OE,
即点E是△AOB外接圆的圆心;
∵AO的垂直平分线即是抛物线的对称轴,
∴点E的横坐标为-1,
∵直线OB的解析式为:y=x,
∴设直线EF的解析式为:y=-x+b,
∵点F(1,),
∴-+b=,
解得:b=,
∴直线EF的解析式为:y=-x+,
当x=-1时,y=,
∴点E的坐标为(-1,),
∴tan∠EOG=,
∴∠EOG=60°,
∵y=x2+x=(x+1)2-,
∴点C(-1,-),
∴tan∠COG=,
∴∠COG=30°,
∴∠COE=∠COG+∠EOG=90°,
即EO⊥OC,
∴直线OC与△AOB的外接圆相切.
解析分析:(1)由二次函数y=ax2+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A,易求得点A的坐标,又由将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B,可得∠BOD=30°,OB=OA=2,然后过点B作BD⊥y轴于点D,即可求得点B的坐标,再代入二次函数的解析式,即可求得a的值;
(2)由△AOB的外接圆的圆心是△AOB的三边的垂直平分线的交点,可设OB的中点为F,过点F作EF⊥OB交AO的垂直平分线于点E,连接OE,确定点E是△AOB外接圆的圆心;然后求得点E的坐标,可证得OE⊥OC,即可判定直线OC与△AOB的外接圆相切.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的外接圆以及切线的判定.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用.
已知:二次函数y=ax2+2ax的图象与x轴负半轴的交点为A 将点A绕坐标原点O顺时针旋转120°后得点B.(1)若B点在已知的二次函数的图象上 求a的值;(2)在(