问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)点Q在直线BC上方的抛物线上,且点Q到直线BC的距离最远,求点Q坐标.
答案:
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(-3,0),
∴
解得:
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3
(2)由y=-x2-4x-3
可得D(-2,1),C(0,-3)
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°,
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴
过点A作AE⊥BC于点E
∴∠AEB=90°
可得,
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP
∴,,
解得PF=2
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(-2,2)或(-2,-2)
(3)设直线BC的解析式y=kx+b,
直线BC经过B(-3,0),C(0,-3),
∴
解得:k=-1,b=-3,
∴直线BC的解析式y=-x-3
设点Q(m,n),过点Q作QH⊥BC于H,并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S,则S点坐标为(m,-m-3)
∴QS=n-(-m-3)=n+m+3
∵点Q(m,n)在抛物线y=-x2-4x-3上,
∴n=-m2-4m-3
∴QS=-m2-4m-3+m+3
=-m2-3m
=
当m=时,QS有最大值
∵BO=OC,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°
∵QS∥y轴,
∴∠QSH=45°
∴△QHS是等腰直角三角形;
∴当斜边QS最大时QH最大;
∵当m=时,QS最大,
∴此时n=-m2-4m-3=-+6-3=;
∴Q(-,);
∴Q点的坐标为(-,)时,点Q到直线BC的距离最远.
(注:1、如果学生有不同的解题方法,只要正确,可参考评分标准,酌情给分;2、对第(3)题,如果只用△=0求解,扣.理由:△=0判断只有一个交点,不是充分条件)
解析分析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;
(2)根据(1)得到的函数解析式,可求出D、C的坐标;易证得△OBC是等腰Rt△,若过A作BC的垂线,设垂足为E,在Rt△ABE中,根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长;连接AC,设抛物线的对称轴与x轴的交点为F,若∠APD=∠ACB,那么△AEC与△AFP,根据得到的比例线段,即可求出PF的长,也就求得了P点的坐标;
(3)当Q到直线BC的距离最远时,△QBC的面积最大(因为BC是定长),可过Q作y轴的平行线,交BC于S;根据B、C的坐标,易求出直线BC的解析式,可设出Q点的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式,分别表示出Q、S的纵坐标,即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式,以QS为底,B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积,由于B、C横坐标差的绝对值为定值,那么QS最长时,△QBC的面积最大,此时Q离BC的距离最远;可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求出Q点的坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象交点及图形面积的求法等知识,综合性强,难度较大.
在平面直角坐标系xOy中 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1 0) B(-3 0)两点 与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D 点