问题补充:
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(6,0),若将经过B、C两点的直线y=mx+n沿y轴向下平移6则恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x=4.
(1)求抛物线及直线BC的解析式;
(2)如果P是线段BC上一点,设△ABP、△ACP的面积分别是S△ABP、S△ACP,且S△ABP=S△ACP,求点P的坐标;
(3)设⊙Q的半径为2,圆心Q在抛物线上运动.则在运动过程中,是否存在圆Q与坐标轴相切的情况,若存在,请求出圆心Q的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)在(3)的情况下,设⊙Q的半径为r,是否存在与两坐标轴同时相切的圆,若存在,求出半径r的值,若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点,
∴n=6,C(0,6).
将B(6,0)代入y=mx+6,得mx+6=0,m=-1.
∴直线AC的解析式为y=-x+6.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C,且对称轴x=4,c=6.
∴,
解之得:,
∴抛物线的函数解析式为.
注:变可设抛物线方程y=a(x-2)(x-6),代入C(0,6)即可求之.
(2)设P(x′,-x′+6),
由S△ABP=S△ACP得:S△ABP=(S△ABC-S△ABP),
∴5S△ABP=2S△ABC.
5×(6-2)(-x′+6)=2××(6-2)×6,
解之得:x′=,
∴P(,).
(3)假设⊙Q在运动过程中,存在⊙Q与坐标轴相切的情况.
设点Q的坐标为(x0,y0).
①当⊙Q与y轴相切时,有|x0|=2,即x0=±2.
当x0=-2时,
∴,
∴Q1(-2,16).
当x0=2时,,
∴Q2(2,0).
②当⊙Q与x轴相切时,有|y0|=2,即y0=±2.
当y0=-2时,有,解之得x0=4.
∴Q3(4,-2).
当y0=2时,有,
解之得,.
∴Q4(,2),Q5(,2).
综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为Q1(-2,16)、Q2(2,0)、Q3(4,-2)、Q4(,2)、Q5(,2).
(4)存在与两坐标轴同时相切的圆.设点Q(x1,y1).
当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有|y1|=|x1|=r,即y1=±x1.
由y1=x1,得,即,
解之得:.
∴.
由y1=-x1,得,
即.
此方程无实数解.
综上所述,存在与两坐标轴同时相切的圆,此圆半径.
解析分析:(1)根据直线平移的规律,求出C点坐标,再根据函数对称轴为x=4,与y轴交点坐标为(0,6),利用待定系数法求出函数解析式;
(2)设P(x′,-x′+6),由S△ABP=S△ACP得:S△ABP=(S△ABC-S△ABP),据此建立关于x′的方程,解方程即可求出函数解析式;
(3)分两种情况讨论:①当⊙Q与y轴相切时,有|x0|=2,即x0=±2.据此求出y的值;②当⊙Q与x轴相切时,有|y0|=2,即y0=±2.据此求出x的值.
点评:此题考查了二次函数综合题,涉及待定系数法求函数解析式、切线的判定和性质,都用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏.
在平面直角坐标系中 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧) 与y轴交于点C 点B的坐标为(6 0) 若将经过B C两点的直线y=mx+n沿