问题补充:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,3),与x轴的两个交点分别为A(-1,0)、B(3,0),顶点为D.连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得四边形PEDF为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)设点P的横坐标为m,△BCF的面积为S,求S关于m的函数关系式及S的最大值.
答案:
解:(1)根据题意,,
解得.
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
(2)存在.
理由如下:设直线BC的解析式是y=kx+b,
则,
解得,
∴直线BC的解析式是y=-x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线对称轴是x=1,顶点D的坐标是(1,4),
当x=1时,y=-1+3=2,
∴点E的坐标是(1,2),
∴DE=4-2=2,
设点P的横坐标是x,则点P的坐标是P(x,-x+3),点F的坐标是F(x,-x2+2x+3),
∴PF=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x,
若四边形PEDF是平行四边形,则PF=DE,
即-x2+3x=2,
解得x=2,x=1(舍去)
∴-x+3=-2+3=1,
∴点P的坐标是(2,1),
∴存在点P(2,1),使得四边形PEDF为平行四边形;
(3)根据(2)的结论,PF=-m2+3m,
设点B到PF的距离是h1,点C到PF的距离是h2,
则S△BCF=S△PBF+S△PCF,
=×PF×h1+×PF×h2,
=×PF×(h1+h2),
=(-m2+3m)×3,
=-(m-)2+,
∴S关于m的函数关系式为S=-(m-)2+,
当m=时,S的最大值为.
解析分析:(1)把点A、B、C的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求出a、b、c的值,即可得到函数解析式;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,再根据二次函数的解析式求出点D的坐标以及点E的坐标,从而得到DE的长度,设点P的横坐标为x,根据直线BC的解析式与二次函数的解析式求出PF的长度,然后根据平行四边形的对边平行且相等列式求解即可得到点P的横坐标,然后点P的坐标可求;
(3)把△BCF的面积分成△PBF与△PCF的面积的和,底边为PF,然后列式求解即可.
点评:本题是对二次函数的综合考查,包括待定系数法求函数解析式,平行四边形的对边平行且相等的性质,分割法求三角形的面积,二次函数的最值问题,综合性较强,难度较大,同学们求解时一定要仔细分析、认真计算.
如图 抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0 3) 与x轴的两个交点分别为A(-1 0) B(3 0) 顶点为D.连接BC 与抛物线的对称轴交于点E 点P为线