问题补充:
已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B是切点,OC平行于弦AD,连接CD,过D点作DE⊥AB于E,交A与C的连线于点P.问DP与PE是否相等?如果相等给出证明;如果不相等,说明理由.
答案:
解:DP与PE相等.
证明如下:
连DO,过A点作⊙O的切线AF交CD的延长线于点F,如图,
∵OC∥AD,
∴∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,
而OD=OA,则∠ODA=∠OAD,
∴∠DOC=∠BOC,
∴△DOC≌△BOC,
∴∠ODC=∠OBC,
又∵BC是⊙O的切线,
∴∠OBC=90°,
∴∠ODC=90°,
∴DC为⊙O的切线,
∴FA=FD,CB=CD,
又∵DE⊥AB,FA⊥AB,CB⊥AB,
∴FA∥DE∥BC,
∴=①,
在△ACF,∵DP∥FA,
∴=,即=,
∴=②,
在△ABC中,∵EP∥BC,
∴=③,
由①②③得,=,
而BC=DC,
∴EP=DP.
解析分析:连DO,过A点作⊙O的切线AF交CD的延长线于点F,由OC∥AD,得到∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,而∠ODA=∠OAD,则∠DOC=∠BOC,得到△DOC≌△BOC,得∠ODC=∠OBC;又BC是⊙O的切线,∠OBC=90°,得∠ODC=90°,则DC为⊙O的切线,得到
FA=FD,CB=CD;由FA∥DE∥BC,得=①;由DP∥FA,得=,即=,则=②;由EP∥BC,=③,最后由①②③得到,=,而BC=DC,即有DP与PE相等.
点评:本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线;过圆心垂直于切线的直线必过切点;过圆外一点引圆的两条切线,切线长相等.也考查了圆的切线的判定、平行线分线段成比例定理以及三角形的相似的判定与性质.
已知:如图 AB是⊙O的直径 BC是⊙O的切线 B是切点 OC平行于弦AD 连接CD 过D点作DE⊥AB于E 交A与C的连线于点P.问DP与PE是否相等?如果相等给出