已知函数 其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区间[1 +∞）内单调递增 求a的

问题补充：

已知函数，其中a为大于零的常数．

（I）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；

（II）设函数，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥lnx0成立，求实数p的取值范围．（e为自然对数的底）

答案：

解：（I）f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0，得x=，

所以在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，

所以f（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，

因为函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，

所以，又a＞0，所以a≥1，

所以所求实数a的取值范围为[1，+∞）；

（II）存在x0∈[1，e]使g（x0）≥lnx0，即存在x0∈[1，e]使p≥+x0成立，

令h（x）=（lnx-1）ex+x，从而p≥hmin（x）（x∈[1，e]），

h′（x）=ex+1，

由（I）知当a≥1且x≥1时，f（x）=lnx+≥f（1）=0成立，

所以-1≥0在[1，e]上成立，

所以h′（x）=+1≥1+1＞0，

所以h（x）=（lnx-1）ex+x在[1，e]上单调递增，

所以hmin（x）=h（1）=1-e，

所以p≥1-e．

解析分析：（I）求导数f′（x），利用导数求出f（x）的增区间，由f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，得[1，+∞）为f（x）增区间的子集，由此得不等式，解出即可；（II）存在x0∈[1，e]使g（x0）≥lnx0，即存在x0∈[1，e]使p≥+x0成立，令h（x）=（lnx-1）ex+x，从而p≥hmin（x）（x∈[1，e]），由（I）可判断h′（x）＞0，从而h（x）在[1，e]上递增，进而得h（x）的最小值，从而问题可解；

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化思想，要准确理解“恒成立问题”与“能成立问题”的区别联系并能恰当转化．

已知函数 其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区间[1 +∞）内单调递增 求a的取值范围；（II）设函数 若存在x0∈[1 e] 使不等式g（x0）≥lnx0