化三重积分i=∫∫∫f(x y z)dxdydz为三次积分 其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x

问题补充：

化三重积分i=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成这是基础题,方便我理解好举一反三,

答案：

先判断两个曲面的大小关系：

z = x² + 2y²为顶点在原点,开口向上的椭圆旋转抛物面

z = 2 - x²为顶点在直线y = 0上,开口向下的抛物面

所以有==>x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²

再解出在xy面的投影方程：

{ z = x² + 2y²

{ z = 2 - x²

x² + 2y² = 2 - x²

2x² + 2y² = 2

==>x² + y² ≤ 1

∴ ∫∫∫Ω ƒ(x,y,z) dxdydz

= ∫{- 1,1} dx ∫{- √(1 - x²),√(1 - x²)} dy ∫{x² + 2y²,2 - x²} ƒ(x,y,z) dz