核心公式 - 贝叶斯准则
\[p(c|x) = \frac{p(x|c)p(c)}{p(x)}\]
p(c|x) 是在x发生的情况下，c发生的概率。p(x|c) 是在c发生的情况下，x发生的概率。p(c) 是c发生的概率。p(x) 是x发生的概率。
规则
如果P(c₁|x) > P(c₂|x)，那么属于类别c₁。
如果P(c₁|x) < P(c₂|x)，那么属于类别c₂。
等价变化
\[p(c1|x) = \frac{p(x|c1)p(c1)}{p(x)}\]
\[p(c2|x) = \frac{p(x|c2)p(c2)}{p(x)}\]
Therefore, comparing p(c1|x) and p(c2|x)
are same as comparing
\(\frac{p(x|c1)p(c1)}{p(x)}\) and \(\frac{p(x|c2)p(c2)}{p(x)}\)
same as comparing
\(p(x|c1)p(c1)\) and \(p(x|c2)p(c2)\)
多个独立特征的变化
p(x|c1)中，x是多个独立特征，即\(x=x_0,x_1...x_n\),
则： \(p(x|c1)=p(x_0,x_1...x_n|c1)\)
\(p(x|c1)=p(x_0|c1)p(x_1|c1)...p(x_n|c1)\)
下溢出问题
为了解决下溢出问题，这是由于太多很小的数相乘造成的,所以程序会下溢出或者得到不正确的答案。
在代数中有ln(a*b) = ln(a)+ln(b)，于是通过求对数可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。同时，采用自然对数进行处理不会有任何损失。
Therefore, comparing p(c1|x) and p(c2|x)
same as comparing
\(log(p(x_0|c1)) + log(p(x_1|c1)) + ... + log(p(x_n|c1) + log(p(c1))\) and
\(log(p(x_0|c2)) + log(p(x_1|c2)) + ... + log(p(x_n|c2) + log(p(c2))\)
